5. Бесконечно малые функции и их свойства
Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом,
Например, функция а функции не являются функциями класса
Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса
Если то т.е.
Доказательство. Свойство очевидно. Докажем свойство (другие свойства доказываются аналогично). Пусть и Тогда для произвольного существуют числа такие, что
Выберем Тогда будут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что
Это и означает, что т.е. верно свойство . Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при
Теорема 4. Если существует (конечный) предел то Обратно: если функция представляется в виде то имеет предел в точке и
Доказательство. Существование предела эквивалентно высказыванию
Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция т. е. что Теорема доказана.
Замечание 2. Равенство называют асимптотическим разложением функции имеющей предел в точке
И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.
Определение 4. Множества
называются окрестностями точек соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции в бесконечности:
Перейдём теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.
Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы то и существуют пределы при этом
Если (кроме существования пределов и ) выполняется ещё условие то существует предел причём
Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы то по теореме 4 имеют место асимптотические разложения Умножая эти равенста друг на друга, будем иметь Поскольку то (см. теорему 3). Далее, поскольку то функция представляется в виде По теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведения при и он равен
Теорема доказана.
6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
Введём следующее понятие. Пусть конечная или бесконечная точка и пусть функ-
ции и определены в некоторой проколотой окрестности точки
Определение 5. Две бесконечно малые функции и (при ) называются
эквивалентными, если в некоторой проколотой окрестности и если
При этом пишут:
Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.
Теорема 6. Если и если существует пределто существует и предел и он также равен числу
Доказательство. Переходя в тождестве к пределу при и учитывая, что получаем утверждение теоремы.
Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:
Таблица 1.
Если при то при верны следующие соотношения:
const.
можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.
Пример 1.