- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
Эти понятия встречались при изучении скалярных дифференциальных уравнений. На вектор-функции они обобщаются следующим образом.
Определение 3.Система вектор-функций
называется линейно зависимой на отрезке, если существуют числа, не равные нулю одновременно, такие, что для всехимеет место тождество
Если же тождество (6), где – числа, имеет место тогда и только тогда, когда всето система вектор-функцийназываетсялинейно независимой на отрезке .
Заметим, что векторное тождество (6) эквивалентно скалярным тождествам
Определение 4.Определитель
столбцами которого являются вектор-функции называется определителем Вронского (или вронскианом) системы вектор-функций
Теорема 2 (необходимое условие линейной зависимости). Если система вектор-функций линейно зависима на отрезке, то их вронскиантождественно обращается в нуль на этом отрезке, т.е..
Доказательство.Так как вектор-функциилинейно зависимы на отрезке, то существуют числа, не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество (6). Но это означает, что эквивалентная им линейная система (7) алгебраических уравнений имеет при всехнетривиальное решение. Это возможно лишь в том случае, когда определитель системы (7) обращается в нуль при всех. Остается заметить, что указанный определитель совпадает с вронскианом системы функций. Теорема доказана.
Следствие 1.Если вронскиан не обращается в нуль хотя бы в одной точке, то система вектор-функцийлинейно независима на отрезке(если, конечно, она имеет смысл на этом отрезке).
Как и в скалярном случае, из тождества еще не следует, что система вектор-функцийлинейно зависима на отрезкеНапример, вектор-функции
линейно независимы на любом отрезке (докажите это!), а их вронскиан
тождественно равен нулю на отрезке . Однако для системы решений однородной системы
с непрерывной на отрезке матрицей теорему 2 можно обратить.
Теорема 3. Пусть – система решений однородной дифференциальной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей. Тогда имеют место следующие утверждения:
1) решения линейно независимы на отрезкетогда и только тогда, когда их вронскианнe обращается в нуль ни в одной точке отрезка;
2) решения линейно зависимы на отрезкетогда и только тогда, когда их вронскиантождественно равен нулю на отрезке.
Докажем, например, утверждение 1). Достаточность его очевидна, так как если хотя бы в одной точкеотрезка, то из следствия 1 вытекает, что функциилинейно независимы на отрезке. Докажем необходимость.
Пусть решения системы (8) линейно независимы на отрезке. Предположим, что существует точкатакая, что. Отсюда следует, что столбцыопределителялинейно зависимы, т.е. существуют числа, не равные нулю одновременно, такие что
Рассмотрим вектор-функцию В силу линейности пространстварешений однородной системы (8) эта функция является решением указанной дифференциальной системы. Из (9) следует, что она удовлетворяет начальному условиюНо такому же начальному условию удовлетворяет и тривиальное решениесистемы (8). В силу единственности решения вектор-функцииисовпадают на отрезке, т.е.Следовательно,
Поскольку здесь числа не равны нулю одновременно, то это означает, что решениялинейно зависимы на отрезке, чего не может быть. Значит, равенстволожно, поэтомупри всех. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекают следующие свойства вронскиана системы решенийоднородной диффернциальной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей:
если вронскиан обращается в нуль хотя бы в одной точкеотрезка, то;
если вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точкеотрезка, то он не равен нулю на всем отрезке.
Эти свойства становятся очевидными, если воспользоваться формулой Лиувилля
где – решения однородной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей, а– произвольная фиксированная точка этого отрезка. Черезобозначен след матрицы, т.е. сумма всех ее элементов, стоящих на главной диагонали: