- •1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела
- •2Динамические уравнения теории упругости.
- •3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем.
- •6Уточненная теория изгибных колебаний стержней. Уравнения балки Тимошенко
- •7Уравнения колебаний и естественные граничные условия колебаний пластин. Уравнение изгибных колебаний пластин
- •8Применение принципа Даламбера для вывода уравнений динамики упругих систем
- •Продольные колебания стержней
- •Пластина
- •10Операторное уравнение для определения спектров
- •Ортогональность форм собственных колебаний
- •13Структура спектра частот собственных колебаний. Полнота системы форм собственных колебаний
- •15Энергетическое пространство упругого оператора. Энергетическая норма. Энергетическое пространство положительно определенного оператора
- •16Вариационные принципы теории собственных колебаний. Основной вариационный принцип теории собственных колебаний
- •17Минимальное свойство низшей собственной частоты Теоремы сравнения
- •Теоремы сравнения
- •Классификация методов
- •19 Методы физической дискретизации(Дискретизация масс)
- •20Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний. Вариационная формулировка задачи
- •21Метод Релея и некоторые оценки, вытекающие из него: формулы Данкерли и Саутвелла Формула Релея
- •Некоторые оценки, вытекающие из формулы Релея. Формулы Данкерли и Саутвелла
- •22Вариационный метод Ритца
- •23Метод БубноваГалеркина
- •24Продольные, крутильные и изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения. Продольные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения
- •26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней
- •Матричная форма метода начальных параметров
- •27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).
- •28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней
- •29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней
- •30Собственные колебания прямоугольных пластин.Граничные условия Навье. Уравнения и граничные условия
- •Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье
- •31Плотность собственных частот пластин
- •32Прямоугольная пластина краевыми условиями Леви
- •33Колебания круговых и кольцевых пластин
- •Круговые пластины
- •34Применение вариационных методов в задачах о собственных колебаниях пластин
- •35Асимптотический метод в.В.Болотина для определения спектров собственных колебаний
- •Идея асимптотического метода
- •36Применение асимптотического метода к расчету прямоугольных пластин
- •37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек.
- •38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек
- •39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия
- •40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.
- •41Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости.Типы дисперсий
- •42Поверхностные волны Релея
- •43Приложение к сейсмологии
- •44 Продольные волны и волны кручения в призматических стержнях.Элементарная и уточненная теории изгибных волн в стержнях.
- •Волны кручения в призматическом стержне
- •Изгибные волны в призматических стержнях
- •Изгибные волны в стержнях
26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней
Этот метод берет свое начало от Коши. Возрожден был А.Н.Крыловым (1930). Называется метод Коши – Крылова.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение го порядка
частных линейно независимых решений образуют фундаментальную систему
Определитель этой матрицы (Вронского) отличен от нуля
Если , гдеединичная матрица, то система решений называется нормальной фундаментальной системой. Еслинормальная фундаментальная система, то общее решение однородного уравнения можно записать в виде
где ─ начальные условия. Если уравнение неоднородное, то частное решение неоднородного уравнения можно найти по формуле Коши
,
где функция Грина (ядро Коши) для задачи Коши. Если уравнение с постоянными коэффициентами и нам известна фундаментальная система Коши, то функция, а частное решение
Окончательно общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
В этом состоит математическая сторона метода. Применим метод к задачам об изгибных колебаниях стержней (А.Н.Крылов, Н.И.Безухов)
фундаментальная система решений, но она не является нормальной. Нормальную фундаментальную систему сформируем на основе функций Крылова
Обозначим , тои вообще: при дифференцировании номер функции Крылова понижается на единицу.
Таким образом, нормальная фундаментальная система решений уравнения собственных колебаний стержней
Решение для форм колебаний можно записать
где амплитудные значения прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы в начальном сечении стержня.
Частное решение неоднородного уравнения
Метод начальных параметров удобен для определения част и форм многопролетных балок с кусочно-постоянной жесткостью.
Пример.
Учитывая выражения для функций Крылова, частотное уравнение получим в виде . Обозначим. Из первого уравнения получим. Для форм колебаний имеем
Матричная форма метода начальных параметров
Введем вектор .
При
Аналогично . Для
Уравнение частот получим из граничных условий на правом конце.
27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).
При исследовании колебаний сложных систем их удобно расчленить на отдельные более простые подсистемы. Расчленение можно осуществить либо устранением связей между ними (метод динамических податливостей), либо наоборот введением дополнительных связей (метод динамических жесткостей). Это динамические аналоги метода сил и метода перемещений в статике стержневых систем.
а) метод динамических податливостей
Решение ищется для одночастотного режима. Вспомогательная задача – основную систему загружают вибрационными силами с единичной амплитудой и решается задача о вынужденных колебаниях.
─ матрица динамических податливостей. трансцендентные функции
Условие существования ненулевого решения
─ уравнение частот. В строительной механике рассматриваются статические, а здесь гармонические воздействия на систему. Поэтому этот метод иногда называют методом гармонических коэффициентов влияния.
Пример.
Условие совместности деформаций
динамические податливости балки и массы с пружинами, т.е. амплитудные значения перемещений точек приложения силы под действием единичной гармонической силы.
Частотное уравнение
При
Динамическая податливость второй подсистемы
Частотное уравнение
б) метод динамических жесткостей
перемещения (угловые).
Решается задача о вынужденных колебаниях при кинематическом возбуждении.
амплитудные реакции по направлениюго обобщенного перемещения отго единичного гармонического воздействия,число стержней – число условий сопряжения
Матрица динамических жесткостей
Условия сопряжения обобщенных динамических сил – условия равновесия в узлах
Частотное уравнение
Реакции простых систем на единичные гармонические перемещения затабулированы.
Пример
Определить
Граничные условия
С учетом граничных условий
Изложенные методы являются точными.