3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

Пусть дан линейный оператор (линейное пространство над числовом полем⁴).

Определение 2. Вектор называетсясобственным вектором, соответствующим собственному значению , если: а) б)Совокупность всехразличных собственных значений оператора называютспектром оператора . Обозначение:

Например, если матрицато векторявляется собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значениютак какПри этом

Отметим очевидное свойство собственных векторов: если собственный вектор операторасоответствующий собственному значениютотоже собственный вектор операторасоответствующий собственному значению В ряде случаев, выбирая постоянную можно упростить вид собственных векторов.

Свойства собственных векторов.

1) собственные векторы соответствующие различным собственным значениямлинейно независимы.

2) все собственные векторы оператора , соответствующие одному и тому же собственному значению, образуют линейное подпространство в(его называют собственным пространством оператораотвечающим собственному значению).

3) В пространстве любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Опишем теперь, как вычисляются собственные векторы и собственные значения. Зафиксируем в пространстве некоторый базиси вычислим матрицуоператорав этом базисе. Тогда операторное уравнение(с учетом того,где) можно записать в матричном виде

Эта система должна иметь нетривиальное решение поэтому ее определитель должен равняться нулю

Определитель (5) называется характеристическим определителем матрицы (или оператора). Раскрывая его, получим так называемое характеристическое уравнение, решая которое, найдем собственные значения матрицы( или оператора) . Положив в (4)и решив полученную алгебраическую систему уравнений относительно вектора-столбца, найдем все собственные векторысоответствующие собственному значениюматрицыЗатем по формулевычислим собственные векторы оператора, соответствующие собственному значению

Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством.

Теорема 4. Если оператор имеет в полеразличных собственных значений, то собственные векторысоответсвующие этим значениям, образуют базис вМатрицаоператорав этом базисе будет диагональной:

Замечание 2. Оператор называется диагонализируемым (или оператором простой структуры), если в существует базис, в котором матрицаэтого операторадиагональна. Из теоремы 4 следует, что оператор , имеющий вв поле различных собственных значений, диагонализируем. Обратное, вообще говоря, не верно: оператор может быть диагонализируемым, не имея различных собственных значений. Например, единичная матрица размерностидиагонализируема, но она имеет только одно собственное значениекратностиВ этом случае матрица имеет базис из собственных векторов, но все они отвечают собственному значению

Докажем теперь следующий важный результат.

Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.

Доказательство. Пусть матрицы иподобны. Тогда существует невырожденная матрицатакая чтоПоэтомуИспользуя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что

Учитывая, что получаем отсюда равенствокоторое показывает, что характеристические уравнения матрицисовпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана.