Лекция 6. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование дробно-рациональных функций

Вычисление определенного интеграла можно свести к вычислению неопределенного. Соответствующая формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Для ее вывода необходимо изучить сначала свойства интеграла с переменным верхним пределом, к описанию которого мы переходим.

1. Интеграл с переменным верхним пределом

Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву:

Пусть функция интегрируема на отрезкеТогда для любогоможно вычислить числоЗначит, для каждогоопределена функцияЭту функцию называютинтегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезкето интегралнепрерывен на этом отрезке. Еслинепрерывна на отрезкето

дифференцируема на указанном отрезке, причем

Доказательство первой части этого утверждения опускаем. Перейдем к обоснованию второй части. Пусть произвольная точка интервалаВычислим

Так как непрерывна на отрезкето применима теорема о среднем: существует точкатакая, что

Тогда Устремляя здесьи учитывая, что при этом

т.е. Равенство (1) показано в любой внутренней точке отрезкаМожно показать, что оно верно и на концах этого отрезка. Теорема доказана.

Следствие 1. Любая непрерывная на отрезке функцияимеет первообразную.

Действительно, в качестве одной из первообразных можно указать интегралс переменным верхним пределом ().

2. Формула Ньютона-Лейбница

Докажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления.

1Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.

2Функция называется непрерывно дифференцируемой на множестве если она и ее производная непрерывны на

3На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и

53