2. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису

Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.

Определение 1. Подмножество линейного пространстваназываетсяподпространством пространства над числовым множеством, если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащимиему принадлежит и любая линейная комбинация(числа).

Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторовВ подпространствесуществует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства.

Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространствав пространствоставящее в соответствие каждому элементуединственный элементпо законуназывается оператором(действующим из пространства в пространство).

Определение 2. Оператор называетсялинейным оператором, если выполняются свойства³:

а) б)

Свойства а) и б) можно объединить в одно:

Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцустолбецбудет линейным оператором, так как

Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера. Этот оператор действует из пространствав пространствоДействительно,

Значит, оператор действует из пространствав пространствоДалее, из определения действий над матрицами вытекает свойстводля любых столбцови любых чиселПоэтому матрицаявляется линейным оператором.

Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:

(при получаем сумму операторови, приполучаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространствоявляется линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторови

Если то в множестве всех линейных операторовбудут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называетсяалгеброй операторов.

Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть дан оператор является линейныым и пустьЗафиксируем в пространствебазис. Тогда любой векторможно записать в видеТочно так же, если в пространствезафиксировать базисто любой векторможно записать в виде

Так как образы базисных векторов принадлежат пространствуто их можно (согласно (4)) разложить по базису

Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде

Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператораСформулируем это понятие более точно.

Определение 3. Матрицей оператора в базисеназывается матрица (размера),й столбец которой является координатным столбцом образа(го базисного векторапространства) в базисе

Пример 3. Пусть пространство является пространством квадратных трехчленов: =

=Выберем в нем базисТогда каждый элемент пространстваможно записать в виде

Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь). Так както

Следовательно, матрица оператора(согласно определению 3) имеет вид

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если иматрицы операторовисоответственно (в одном и том же базисе ), то матрицами операторов

(числа) ив том же базисебудут соответственно матрицы

Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнениеа затем восстановить вектор(здесьматрица операторав базисе координатные столбцы векторов ив том же базисе).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Выбрав в пространстве квадратных трехчленовбазис(см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме

Его решением является вектор-столбец

Значит, решением данного уравнения будет функция гдепроизвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство.

Пример 4. Даны линейные преобразования в пространстве

Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисепространства

Решение. Воспользуемся теоремой 2. Еслииматрицы операторовив базисето матрицей операторав том же базисе будет матрицаПостроим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование. Вычисляя образы базисных векторов для операторови, построим их матрицы:

Вычисляем матрицу

Значит,

1Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент

2Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называетсялинейным изоморфизмом этих множеств.

3Если оператор линейный, то пишутопуская скобки.

43