2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Дадим определения этих произведений в краткой форме.

а) Скалярное произведение векторов и

б) Векторное произведение векторов и

- есть векторудовлетворяющий требованиям:

1)2)3)тройкаправая, т.е. кратчайший поворот от векторак векторуимеющих общее начало, виден из конца вектора(с тем же началом) совершающимся против часовой стрелки.

в) Смешанное произведение векторов

Введенные операции умножения над векторами обладают свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Свойство коммутативности верно лишь для скалярного произведения. При перемене мест сомножителей в векторном произведении изменяется знак (антикоммутативность): То же может произойти и в смешанном произведении. Например, Учитывая свойство антикоммутативности векторного произведения, можно обращаться с введенными произведениями векторов как с обычным произведением чисел. Например,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (здесь и далее вместо пишем просто 0).

Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с).

Скалярное произведение векторовиравно нулюкогда векторыиортогональны друг другу.

Векторное произведение равно нулюкогда векторыиколлинеарны.

Смешанное произведение равно нулю когда векторы,икомпланарны (т.е. все они либо лежат в одной плоскости, либо находятся в параллельных плоскостях).

Геометрический смысл: а) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторахи; б) модульсмешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах,и.

Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков:

Теорема 4. Если векторы изаданы своими координатамив базисе то имеют место формулы:

а)(скалярное произведение;)

б) (векторное произведение);

в) (смешанное произведение).

Доказательство проведем лишь для скалярного произведения. Имеем

Учитывая, что векторы попарно ортогональны, получаем, что в этой сумме только слагаемые с множителямине равны нулю; все другие слагаемые равны нулю. Значит, имеет место формулаТеорема доказана.

Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве

Сначала заметим, что множество всех точек удовлетворяющих уравнению(если его можно разрешить относительно хотя бы одной из переменных) является уравнением некоторой поверхности. Это означает, что любая точка

удовлетворяет уравнению и, напротив, еслито она не удовлетворяет этому уравнению.

1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках

Пусть в пространстве задана плоскостьи пустьфиксированная точка, апроизвольная (текущая) точка этой плоскости. Посмотрим, какому уравнению будет подчинена произвольная точкаплоскостиПустьвектор нормали к плоскостиТак както скалярное произведение

Мы получили

уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точкус вектором нормали(1)

Раскроем в (1) скобки и обозначим Получим

общее уравнение плоскости: Имеет место следующее очевидное утверждение.

Теорема 1. Любое линейное уравнение (2) задаёт в пространстве плоскость с вектором нормали И обратно: любая плоскость вописывается линейным уравнением (2).

Если числа не равны нулю, то уравнениеназывают “уравнением плоскости в отрезках” (впредь кавычки будем опускать). При этом являются величинами (с учётом знака) отрезков, отсекаемых плоскостью от осейсоответст-венно. Эта плоскость проходит через точкифакт, удобный при изображении этой плоскости в пространстве. Из общего уравнения (2) плоскости легко получить ее уравнение в отрезках:(если, конечно, числа, записанные в знаменателях, существуют).