3. Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы

Определение 6. Говорят, что квадратная матрица обратима, если существует квадратная матрица (той же размерности) такая, чтоПри этом матрицаназываетсяобратной к матрице и обозначается

Нетрудно показать, что если матрица обратима, тоона имеет единственную обратную матрицу

Теорема 1. Для того чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю (в этом случае матрица называется невырожденной или неособой матрицей). При этом её обратная матрица имеет вид

где алгебраическое дополнение элементаматрицы

Например,

(эту формулу полезно запомнить),

4. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре

Сначала введем понятие линейной зависимости и независимость строк (столбцов) матрицы.

Определение 6. Строки называютсялинейно зависимыми, если существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что имеет место равенство

Если же равенство (2) (где числа) имеет место тогда и только тогда, когда все числаодновременно равны нулю (), то строки называются линейно независимыми. Аналогичные понятия вводятся и для столбцов.

Например, строки линейно зависимы, так как

(здесь ), а столбцылинейно независимы, так как

Введем теперь следующее важное понятие.

Определение 7. Рангом произвольной матрицы (размера )называется максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы. Обозначение:

Например, ранг матрицы равен 1, так как только один столбец этой матрицы (любой) линейно независим, а два столбца линейно зависимы.

Пусть дана произвольная матрица . Будем последовательно рассматривать в ней миноры первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Определение 8. Базисным минором матрицы называется такойотличный от нуля минор го порядка, что все миноры матрицы порядка выше го равны нулю.

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен порядку базисного минора этой матрицы.

Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк.

1Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент

26