- •1. Обозначения
- •2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
- •4. Предел функции
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
- •7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1. Односторонние пределы
- •2. Непрерывность функции в точке
- •3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
- •4. Арифметические действия над производными
- •5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
- •6. Производные простейших элементарных функций
- •1. Логарифмическая производная
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
6. Производные простейших элементарных функций
Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующие равенства.
Теорема 8. В области определения соответствующих функций имеют место формулы:
Таблица производных
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Докажем, например, формулу используя теорему 6 о производной
обратной функции. Функция является обратной по отношению к функциипричемпоэтому по теореме 6 имеем
Лекция 3. Логарифмическая производная. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Формулы Маклорена-Тейлора для простеших элементарных функций. Правило Лопиталя. Применение формулы Тейлора.
1. Логарифмическая производная
При дифференцировании показательно-степенной функции обычно используютлогарифмическую производную Делается это так:
Например,
2. Производные и дифференциалы высших порядков
Производная есть сама функция отпоэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функциии обозначаетсяИ вообще:
если известна производная (порядка), то производнаяго порядка определяется так:При этом функцияназываетсяраз дифференцируемой в точке
Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:
если известен дифференциал порядка то дифференциалго порядка определяется так:при этом дифференциалнезависимой переменной и все его степенисчитаются постоянными дифференцирования.
Имеем И вообще, справедливо утверждение:если функция дифференцируемараз в точкето
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:
Производные порядка являются линейными операциями, т.е.
Производная порядка для произведениявычисляется довольно сложно.
Формула Лейбница. Если функции дифференцируемыраз в точкето имеет место равенство
Здесь: число сочетаний изэлементов понулевая производная функциисовпадает с ней самой:Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степенейстоит произведение производныхУчитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:
3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулыОднако этих формул не достаточно для вычисления предела
Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.
Определение 5. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности
точки Говорят, что функцияимеет в точке асимптотическое разложение го порядка,если существуют числа такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности представляется в виде
Здесь
Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется(приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложениепорядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2. Пусть функция имеет в точке производныедого порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложениепорядка вида
( формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).
Если в (4) положить то получим формулуназываемуюформулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.
Теорема 3. Имеют место следующие разложения:
Таблица 3
Доказательство этих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2) .