lektsii_sopromat_11-17

В системе четыре замкнутых контуров, восемь шарниров кратностью равной единице, и шарнир № 9, который имеет кратность kш(9) 2 .

Степень статической неопределимости равна n = 3*4 – 8 – 2 = 2. Пример 2. Определить степень статической неопределимости

В системе четыре замкнутых контуров, четыре простых шарниров с кратностью равной единице, и шарнир № 5, который имеет кратность kш(9) 2 . Степень статической неопределимости равна n = 3*4 – 4 – 2 = 6.

Пример 3. Определить степень статической неопределимости

В системе четыре замкнутых контуров, три простых шарниров с кратностью равной единице, шарнир № 4, который имеет кратность kш(9) 2 и шарнир №5, который имеет кратность kш(5) 3.

Степень статической неопределимости равна n = 3*4 – 3 – 2 - 3= 4.

Метод сил. Канонические уравнения метода сил

Наиболее распространѐнным методом раскрытия статически неопределимых систем является метод сил. Он заключается в том, что система освобождается от лишних связей и их действие заменяется лишними неизвестными Xk k = 1, 2,…n, которые принимаются за основные неизвестные задачи. Стержневая система, получаемая из заданной путѐм отбрасывания лишних связей и внешней нагрузки, называется основной.

Основная система должна удовлетворять следующим условиям.

1.основная система должна быть статически определима.

2.основная система должна быть геометрически неизменяема.

3. основная система должна быть мгновенно неизменяема, то есть не допускается бесконечно малые перемещения под действием нагрузки.

Основных систем может быть несколько. Основная система с приложенными лишними неизвестными и внешней нагрузкой носит название эквивалентной системы. Условие эквивалентности этой заданной системы состоит в том, что величины лишних неизвестных должны быть такими, чтобы перемещения в основной 0k и в исходной исхk системами были бы одинаковыми

исхk 0л .

В исходной и в основной системах перемещения в направлениях лишних неизвестных должны быть равны нулю 01 02 ... 0k ... 0n 0 . То есть, помимо уравнений статики, имеется n дополнительных условий.

Пользуясь принципом независимости действия сил, запишем последние выражения в виде

	n
0k	0k ( X1 ) 0k ( X 2 ) ... 0k ( X n ) k (P) 0i ( X i ) ok (P) , (k = 1, 2,…n) (12.1)
	i 1

Здесь 0k ( X i ) - перемещения в основной системе в направлении k -ой неизвестной от действия X i - го неизвестного усилия; 0k (P) - перемещение в основ-

ной системе в направлении k -ой неизвестной от действия всех внешних нагрузок.

Так как каждое перемещение 0k ( X i ) пропорционально соответствующей

силе X i	, то можно записать
		0k ( X i ) ki X i ,
где ki	- перемещение в направлении k - го неизвестного от действия X i -го не-
известного, равного единице.
Перепишем выражение (12.1) в виде
	11 X1	12 X 2	... 1n X n 1P		0
	21 X1	22 X 2	... 2n X n 2P		0
	n1 X1	n2 X 2	... nn X n nP		0 ,
или в виде
	n
	jk X k jP 0 ,			( j 1, 2,..., n) .
	k 1
	Это и есть каноническая система метода сил из которой можно найти
неизвестные X i , если известны коэффициенты				jk и jP .

В случае изгиба эти коэффициенты вычисляются по формулам Максвелла-

Мора

j M P d z

jj

M

j

M

j dz

, , jk

M

j

M

k d z

, jP

M

EJ x

EJ x

EJ x

L

L

L

Здесь L -длина основной системы ( для балки –это просто длина балки, для рамы

– это сумма длин стоек и ригелей рамы); M j - изгибающий момент в основной системе от действия только неизвестного усилия X i 1; M k - изгибающий момент в основной системе от действия только неизвестного усилия X k 1; M P -

изгибающий момент в основной системе от действия только внешней нагрузки (всех сил и моментов).

Если функции M j , M P простые, то интегралы вычисляются путем непо-

средственного интегрирования. На практике используется приближенное вычисление интегралов, используя формулу Симпсона

l

l f1 (z) f2 (z) d z 6 ( f1 (0) f2 (0) 4 f1 (l / 2) f2 (l / 2) f1 (l) f2 (l)) .

Эта формула применима, если на участке длиной l, выполняются условия:

1.участок должен быть прямолинейным,

2.функции должны быть монотонными,

3.жесткость балки на участке должна быть постоянна EJ x const

Последовательность расчета статически неопределимых систем

1.Определить степень неопределимости системы - n.

2.Выбрать основную систему, отбрасывая лишние связи и заменяя их неизвестными усилиями (или моментами).

3.Построить эпюры единичных изгибающих моментов M j (j = 1, 2,…,n),

нагружая основную систему последовательно усилиями X j 1 .

4.Построить эпюру изгибающего момента M P , нагружая основную систему только внешними нагрузками.

5.Вычислить единичные jk и грузовые jk перемещения, используя соот-

ветствующие интегралы МаксвеллаМора. Интегрирование проводить по формуле Симпсона.

6.Решить алгебраическую систему канонических уравнений, то есть определить значения неизвестных усилий X i .

7.Построить окончательные эпюры изгибающего момента и поперечной силы в основной системе, нагруженной внешними усилиями и найденными X i

общими методами или по формуле

n

M x (z) M p (z) M k (z) X k .

k 1

8.Провести деформационную проверку, то есть вычислить перемещения

j в местах приложения усилий X i , которые по условию должны быть равными

нулю

j		M x	(z)	M	j	(z) dz	0 .
			E J x
	L

Пример 1. Вычислить перемещение балки в точке приложения силы. Из

условия жесткости vC 10 2 определить значение параметра нагрузки. Принять:a

сечение балки – двутавр № 10, которого J x 198 см4, a = 1 м.

Рис. 1.

Система один раз статически неопределима. Основная система выбрана в виде консоли, отбросив лишнюю опору. Эквивалентная система приведена на рис.1,с.

Каноническое уравнение метода сил имеет вид

11 X1 1 (P) 0 .

Для определения коэффициентов 11 , 1 в основной системы строим эпюры отдельно от действия внешней нагрузки (рис. 1,d,) и от единичной силы

X 1 1 (см. Рис. 1,e).

Численные значения коэффициентов определяется по формуле Мора, интегрирование проводится по формуле Симпсона

3a

1

9a3

11

M

M

1 dz

3a

((3a)2 4(1.5a)2 0)

,

E J x

EJ x

0

6EJ x

3a M P

1 dz

27Pa 3

M

3a

1P

(( 4Pa)

3a 4( 2.5Pa) 1.5a 0)

.

E J x

6EJ x

0

2EJ x

Подставив эти выражения в каноническое уравнение,

9a3

X1

27Pa 3

0,

EJ x

2EJ x

найдем значение лишней неизвестной

X1

1.5P .

Далее в эквивалентной системе (см. рис. 1,f) из уравнений статики опреде-

ляем опорные реакции в заделке Av

и M A

и строим окончательные эпюры попе-

речной силы Qy (z) и изгибающего момента M x (z) (см. Рис.1, g, h).

Выполним деформационную проверку, которая состоит в том, что перемещение в направлении лишней связи (то есть в опоре) должно быть нулевым. Для этого вычислим интеграл

	3a M x
			M	1 dz		3a
B							(0.5Pa 3a 4( 0.25Pa) 1.5a ( Pa) 0)	0
		E J x				6EJ x
	0

Вычислим перемещение балки в точке С. Для этого в основной системе в точке С приложим единичную силу и построим эпюру изгибающего момента

M C (z) (см. Рис.1, к).

4a M x

C dz

3a M x

C dz

a

M x

C dz

M

M

M

C

E J x

EJ x

EJ x

0

0

0

Вычислим слагаемые отдельно

3a

0

M x

M

1 dz

3a

(0.5Pa ( 4a) 4( 0.25Pa) ( 2.5a) ( Pa)

( a))

3

Pa 3

,

E J x

6EJ x

4

EJ x

a M x

3

M

1 dz

a

1

Pa

(( Pa) ( a) 4( 0.5Pa) ( 0.5a) 0)

.

0

E J x

6EJ x

3

EJ x

Итак,

C		13			Pa 3	.
		12			EJ x

Определим допустимое значение параметра нагрузки из условия жестко-

сти

	C		13 Pa 2
							.
	a		12 EJ x
						a

Отсюда

P 12 / a EJ x .

13a 2

Подставив числовые значения, получим

	P	12 (10 2 ) (2 1011) (198 10 8 )	3.7 103	Н.
		13 (12 )

Пример 2.Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента ниже приведенной схемы.

Каноническое уравнение метода сил имеет вид

11 X1 12 X 2 1P 0

21 X1 22 X 2 2P 0

Для определения коэффициентов jk , jP в основной системы строим эпюры отдельно от действия внешней нагрузки и от единичных сил X j 1 .

Численные значения коэффициентов определяется по формуле Мора, интегрирование проводится по формуле Симпсона

11 2a

1

1 dz

8a3

M

M

2a

(0 4a 2 (2a)2 )

,

3EJ x

0

E J x

6EJ x

a

3

M 2 M 2 dz

a

a

22

(0 4(a / 2)2 a2 )

,

3EJ x

0

E J x

6EJ x

a

3

M1

M 2 dz

a

3

a

5a

12 21

(0 4 (

a)

(2a) a)

,

6EJ x

6EJ x

0

E J x

2

2

2a M P

14Pa 3

M

1 dz

2a

1P

(0 4( 2Pa) a ( 3Pa) 2a)

,

E J x

0

6EJ x

3EJ x

a

M P

2

4Pa 3

M

dz

a

2P

(0

4( 2.5Pa) a / 2 ( 3Pa) a)

.

E J x

6EJ x

3EJ x

0

Рис. 2

Подстав эти коэффициенты в канонические уравнения, определим величины лишних неизвестных

X1 167 P , X 2 127 P

Далее в эквивалентной системе из уравнений статики определяем опорные реакции в заделке и строим окончательные эпюры поперечной силы Qy (z) и из-

гибающего момента M x (z) .

Выполним деформационную проверку,

	a	M x		2 dz
			M			a
	B						(0	4 (2 / 7	1/ 7) / 2 Pa ( 1/ 7Pa) a) 0 .
		E J x				6EJ x
	0

Замечание. Метод сил применим и при рассмотрении других видов деформации. При растяжении формулами для вычисления коэффициентов канонических уравнений мы уже пользовались ранее.

j

j N P d z

.

jk

N

N

k dz

,

jP

N

EF

L

L

EF

Пример 3. Определить реакции в опорах статически неопределимой системе, работающей на растяжение.

Рис. 2

2a

a

N1 N1dz

N1 N1 dz

N1 N1 dz

a

2a

3a

11

,

E2F

EF

EF

EF

EF

L

EF

0

0

a

1P

N

j N P d z

( 1) P

Pa

,

EF

EF

E F

L

0

X1

1P

P

.

11

6

Пример 4. Определить реакции в опорах статически неопределимой системе, работающей на кручение. При кручении формулы для вычисления коэффициентов канонических уравнений имеют вид

z( j )

z(k ) dz

z( j ) M z( P) d z

jk

M

M

, jP

M

.

EJ x

EJ x

L

L

3a (

z(1) )2 dz

M

3a

11

,

EJ p

EJ p

0

1P

2a ( 1) m

2ma

,

EJ

p

EJ

p

0

X1

1P 2m

11 3

Вопросы к лекции.

1.Способы определения степени статической неопределенности системы.

2.Метод сил. Канонические уравнения метода сил.

3.Метод Симпсона вычисления интеграла Максвелла-Мора.

4.Последовательность расчета статически неопределимых систем.

5.Применение метода сил для расчета статически неопределимых систем при растяжении и кручении.

Лекция 13.

Сложные виды деформаций

Известно, что в общем случае в поперечных сечениях стержней имеют место шесть внутренних силовых факторов. До сих пор рассматривались простые виды деформации: растяжение, кручение, прямой чистый изгиб. В каждом из них в поперечных сечениях стержней имел место только один внутренний силовой фактор: при растяжении – продольная сила, при кручении – крутящий момент, при чистом прямом изгибе – изгибающий момент. В прямом поперечном изгибе уже было два внутренних силовых факторов – изгибающий момент и поперечная сила. Однако, в последнем случае оценка прочности проводилась только по изгибающему моменту, пренебрегая поперечной силой.

Ниже рассмотрены ситуации, когда пренебрегать каким либо внутренним фактором нельзя. Такие ситуации называются сложными видами деформации. ложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение Будем считать, что суммарные напряжения не превышают предела пропорциональности, то есть,

справедлив закон Гука и деформации малы. В этом случае для изучения сложных видов деформации применим принцип суперпозиции.

Будут рассмотрены косой изгиб, внецентренное растяжение и сочетание изгиба с кручением.

Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид изгиба, когда плоскость изгибающего момента не совпадает с главной центральной осью сечения. Косой изгиб следует рассматривать как одновременный изгиб балки в двух главных центральных плоскостях Ozx и Ozy.

Применяя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения в точке A определим как алгебраическую сумму напряжений от Mx и

Мy

Слагаемые будем определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Для сечений с двумя осями симметрии опасные точки совпадают с

угловыми точками сечения

Условие прочности имеет вид

max M x M y [ ] .

Wx Wy

Прогибы балки определим как геометрическую сумму прогибов от прямых изгибов

.

Особенностью при косом изгибе является то, что изгиб происходит не в плоскости действия сил, а в плоскости, перпендикулярной нейтральной линии.

Уравнение нейтральной линии найдем из условия = 0

M	x	y	M y	x 0 .
J x			J y

Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, то максимальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии.

Для сечений кругового или кольцевого типов косой изгиб становится

прямым относительно оси, перпендикулярной вектору M изг .

Внецентренное растяжение и сжатие

При внецентренном воздействии продольных сил их равнодействующая Р не совпадает с центральной осью oz.

Пусть в точке А с координатами xA, yA. приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогда относительно главных осей сила Р имеет моменты M x PyA , M y PxA . Таким образом,

внецентренное растяжение является родственным косому изгибу, но при этом в сечении имеют место не только изгибающие моменты Mx и My, но и в продольная сила.

В произвольной точке В с координатами x, y нормальное напряжение определяется следующим выражением: