lektsii_sopromat_11-17

P

Py

A

y

Pх

A

x

1

y

A

x

A

P

y

x

F

J

x

J

y

F

J

x

J

.

y

Концы векторов напряжений образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая нулю:

1		yA y		xA x	0
F		J x		J y

Наибольшие напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии

1

y

A

x

A

P

y

x

,

max

1

1

F

J x

J y

где x1 , y1 - координата наиболее удаленной от нейтральной линии точки.

Отрезки, которые отсекает нейтральная линия от осей x и y соответственно равны:

a J y , FxA

b J x . FyA

Расстояние нейтральной линии до начала координат равно:

OC

ab

1

1

a 2 b2

1

1

xA2

yA2

a2

b2

F

J y2

J x2

Если точка А удаляется от центра тяжести, то есть xA , yA , то

OC 0 , следовательно нейтральная линия приближается к центру тяжести. Нейтральная линия, таким образом, может пересекать сечение или

находится за его пределами. Во втором случае напряжения в сечении будут одного знака.

Рассмотренный вопрос важен для расчета кирпичных и бетонных колонн, которые плохо сопротивляются растяжениям. Поэтому сжимающую силу надо прикладывать достаточно близко к центру тяжести сечения.

Вопросы к лекции.

1.Косой изгиб. Вычисление напряжений и перемещений.

2.Внецентренное растяжение как сложный вид деформации.

Лекция 14.

Критерии прочности при сложном напряженном состоянии

Потенциальная энергия упругой деформации

Рассмотрим элементарный объем dV dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния. Мысленно закрепим площадку x 0 . На противопо-

ложную площадку действует сила x dydz . Эта сила совершает работу на перемещении x dx . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значенияx соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от

нуля до значения x , а работа будет равна dA 12 x x dV . Если пренебречь ки-

нетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе де-

формирования dU dA . Величина u dUdV называется удельной потенциальной

энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния

u 12 x x .

При одновременном действии напряжений x , y , z на главных пло-

щадках удельная потенциальная энергия будет равна

u 12 ( x x y y z z ) .

Если на площадках кроме нормальных напряжений имеют место касательные напряжения, то удельная потенциальная энергия будет равна

u 12 ( x x y y z z xy xy xz xz yz yz ) .

Если деформации выразить через напряжения, используя обобщенный закон Гука,

x

1

[ x ( y

z )] , y

1

[ y ( x z )] , z

1

[ z ( x y )],

E

E

E

xy

1

xy , xz

1

xz , yz

1

yz ,

G

G

G

то удельная потенциальная энергия будет равна

u

1

[ 2

2

2 2 (

)]

1

(

2

2

2

) .

y

z

y

z

xy

yz

2E

x

y

z

x

x

2G

xz

Известно, что тензор напряженного состояния и тензор деформированного состояния могут быть представлены как суммы шаровых тензоров, характе-

ризующих изменение объема, и девиаторов, характеризующих изменение формы. Поэтому и удельную потенциальную энергию можно разделить на две части u u0 uф ,

где u0 - часть потенциальной энергии соответствует изменению объема, а uф -

часть потенциальной энергии соответствует изменению формы, которые определяются по формулам

							u0		1 2		x y z 2 ,
									6 E
uф		1	x y z					( x y x z y z )									1		xy2			xz2 yz2 .
																	2G
		3E
В главных напряжениях последняя формула примет вид
			u			1	2	2		2		(									) .
				ф									2		3					3
						3E	1	2		3		1		1			2

f ( 1 , 2 , 3 ) экв

(M ) 3

(M ) 2

M ( 1(M )

Понятие о критериях прочности

Прочность элементов конструкций это свойство сопротивляться разрушению или необратимому изменению формы (пластическое деформирование) под действием внешних нагрузок. В зависимости от характера разрушения материала различают два типа предельных состояний: хрупкое разрушение и появление пластических деформаций. Вводится понятие предельного состояния – это такое состояние конструкции, при котором еѐ дальнейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно.

В случае одноосного напряженного состояния предельное состояние имеет место, если пр , где - напряжение от действия внешних нагрузок в наиболее опасной точке, пр - предельное напряжение, соответствующее пре-

дельному состоянию, которое определяется механическими характеристиками материала, из которого выполнен элемент конструкции. Эти характеристики (предел текучести для пластичных материалов или предел прочности для хрупких материалов) определяются из простых опытах.

При сложном напряженном состоянии предельное состояние определяется тензором напряжений в наиболее опасной точке. Это состояние представляют в виде уравнения

~	,
( ) 0

где ~ - тензор напряженного состояния в точке. Это уравнение представляет

некоторую поверхность.

Последнее уравнение, записанное через главные напряжения f ( 1 , 2 , 3 ) 0

есть уравнение предельной поверхности, определяющей предельное состояние. Эта поверхность является границей области, которая называется областью допустимых состояний. Если наиболее опасная точка , , )

находится в области допустимых состояний, прочность обеспечена.

Говорят, что предельное состояние есть состояние материала, из которого выполнен элемент конструкции при всевозможных видах нагружения, поэтому построить предельную поверхность экспериментальным путем не представляется возможным. Поэтому, исходя из опыта (или из здравого смысла), выбирается некоторый фактор, ответственный за наступление предельного состояния. Этот выбор определяет критерий прочности. Выбор критерия прочности определяется многими факторами – свойствами материала, типом предельного состояния (хрупкое разрушение или наличием текучести).

Выбранный критерий прочности проверяется для напряженного состояния, которое можно реализовать в лабораторных условиях. Наиболее просто провести испытания для линейного напряженного состояния. Далее предполагается, что наступление предельного состояния для произвольного напряженного состояния эквивалентно наступлению предельного со-

стояния при простом напряженном состоянии пр , то есть

f ( 1 , 2 , 3 ) экв пр .

Ограничения применимости критериев прочности:

1.критерии прочности носят локальный характер, то есть относятся к одной точке, а не ко всей конструкции.

2.Критерии прочности не учитывают время ( не учитывают предистории нагружения, скорости нагружения) так как в него входят только компоненты тензора напряжений.

3.Материал считается изотропным, что позволяет использовать главные напряжения, а не все шесть независимых компонент тензора напряжений.

Вобщем виде использование критериев прочности можно представить

ввиде

экв f ( 1 , 2 , 3 ) [ р ] ,

где [ р ] - допускаемое напряжение для простого растяжения.

Критерий текучести Треска-Сен-Венана

(критерий наибольших касательных напряжений)

Предельное состояние для пластических материалов – это достижение предела текучести для материала.

Опыты (линии Чернова, опыты Треска) показали, что за достижение состояния текучести ответственны экстремальные касательные напряжения.

Критерий: предельное состояние (текучесть) наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельного значения, независящего от вида напряженного состояния и определяемого из опытов на простое растяжение

max T .

При условии, что 1 2 3 наибольшее из экстремальных касательных напряжений равно

	max		( 1 3 )	.
			2

Для одноосного напряженного состояния ( 2 3 0, 1 T ) экстремаль-

ное касательное напряжение равно экв	T		T .
			2

Приравнивая два последних выражений, получим условие для предельного состояния

экв Т 1 3 .

Соответствующее этому критерию техническое условие прочности имеет

вид

	С В	1 3 [ ] .
	экв

Недостатком этого критерия является не учет главного напряжения 2 . Но во многих случаях (в том числе при совместном действии изгиба и кручения) это напряжение равно нулю.

Критерий текучести Губера-Мизеса-Генки

Известно (из опытов на всестороннее сжатие), что изменение объема не приводит к разрушению материала, хотя при этом в образце накапливается значительная величина потенциальной энергии. Установлено, что за разрушение материала образца ответственна величина потенциальной энергии, связанная с изменение формы.

Критерий: текучесть наступает тогда, когда плотность потенциальной энергии изменения формы uф достигает некоторой величины uфT , не зависящей

от вида напряженного состояния и которая определяется из опыта при простом напряженном состоянии (растяжении).

Для объемного напряженного состояния выше была получена формула для плотности потенциальной энергии, идущей на изменение формы

u			1	2	2	2	(						)
	ф							2		3		3
			3E	1	2	3	1		1		2
Для одноосного напряженного состояния имеем 2 3 0, 1 T														экв ,

поэтому величина плотности потенциальной энергии, идущей на изменение формы равна

	uфT		1	12		1	T2
			3E			3E

Приравнивая последние два выражения получим условие для предельного состояния

12 22 32 ( 1 2 1 3 2 3 ) T2 .

Соответствующее этому критерию техническое условие прочности имеет

вид

эквМиз 12 22 32 ( 1 2 1 3 2 3 ) 0.5 [ ].

Критерии Сен-Венана и Губера-Мизеса-Генки для упрощенного плоского напряженного состояния

Такой вид напряженного состояния имеет место чаще всего (например, при сочетании изгиба с кручением)

Главные напряжения определяются по формулам

1							2	2		,	3						2	2		,	2 0 .
		2										2
					2										2

Условие текучести: экв T .

Для критерия Сен-Венан получим

экв	T				4		,
С В				2		2

и для критерия Мизеса

эквМиз T 2 3 2 .

Предельные напряжения, вычисленные по критериям Сен-Венана и Мизеса, отличаются незначительно. Расхождения зависят от вида напряженного состояния. Оценим погрешность вычисления предельного состояния. Представим выражения для предельной поверхности в виде: для критерия Сен-Венана

			2					2
									1 ,
			T2				( T / 2)2
для критерия Мизеса	2			2				1 в виде уравнений эллипсов
	T2
			( T /	3)2

Из рисунка видно, что наибольшее расхождение имеет место при напряженном состоянии чистого сдвига

1/ 3 1/ 2 0.15 . 1/ 2

Эксперименты примерно с одинаковой вероятностью описываются обоими критериями, хотя считается, что критерий Мизеса более обоснован. Для материала, находящегося в условиях объемного напряженного состояния, расчеты по критерию Сен-Венана более просты, кроме того, результаты по критерию Сен-Венана всегда идут в запас прочности.

Критерий прочности Мора для хрупких материалов

Предельным состоянием для хрупких материалов является образование трещин. Для хрупких материалов характерно, что предел прочности на растяжение прч меньше предела прочности при сжатии пcч . Предполагают, что напряжение 2 не влияет на прочность хрупкого материала. Для определения предельной поверхности были проведены многочисленные эксперименты при сложном напряженном состоянии при различных соотношениях 1 и 3 .Точки, соответствующие предельным значениям, ложатся на некоторую кривую, которая незначительно отклоняется от прямой линии. Аппроксимация опытных данных прямой линией во-первых уменьшает количество необходимых экспериментов, во-вторых предельное состояние при этом определяется с дополнительным запасом прочности.

Критерий: хрупкое разрушение наступает тогда, когда точка, соответствующая рассматриваемому напряженному состоянию, выйдет за прямую линию, построенную по результатам двух опытов.

Запишем уравнение прямой в отрезках и проходящую через точку А с координатами 1 , 3

	1		3	1.
	пчр		пчс

Найдем из этого выражения зависимость предельной поверхности

	1			р	3 пчр
				пч		,
			пчс

которую перепишем в виде 1 m 3 пчр , где	m		р
			пч	.
		пчс

Условие прочности запишется в виде

эквМор 1 m 3 [ ] .

Вслучае упрощенного напряженного состояния условие прочности имеет вид

эквМор

1 m

1 m

2

4 2 [ ].

2

2

Пример. Расчет вала, работающего на изгиб и кручение

Схема вала представлена на рисунке.

Вал вращается с числом оборотов nраб 2500

об / мин , передаваемая

мощность составляет N 25 кВт .

Размеры вала a 0.2 м,

b c 0.3 м,

D1 0.2

м,

D2 0.26 м.

Материал вала и диска ст. 30 T

300 МПа,

T

170 МПа .

Нормативный запас прочности без учета циклических напряжений при-

мем равным [n] 4

Вычислим окружную скорость вращения вала

nраб

262

1/сек

30

Вычислим крутящий момент

M кр

N

25000

95.5

Нм

262

Из условия M

P

D1

P

D2

вычислим усилия на ободах дисков

кр

1

2

2

2

P 955 Н,

P 734 Н.

1

2

Вычислим опорные реакции из уравнений статики

momA x By (b c) P2b 0,

By

376 H .

mom

A

y B

(b c) P a 0,

B

x

318 H

x

1

прY Ay

By P2

0,

Ay 367 H

прX A B

x

P 0,

A 637 H

x

1

x

Строим эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях и крутящего момента

Определим диаметр вала по заданному критерию прочности (по критерию Сен-Венана M экв (M x2 M y2 M z2 ) ).

Для сечения 1-1

M экв1 (M x2 M y2 M z2 ) (0 1912 95.52 ) 214 Н

Для сечения 2-2

M экв2 (M x2 M y2 M z2 ) (1102 95.52 95.52 ) 174 Н

Видно, что сечение 1-1наиболее опасно, поэтому диаметр вала вычислим из условия прочности именно по этому сечению

max

M 1

M 1

T

[ ] .

экв

экв

экв

Wx

d 3

[n]

32

Отсюда

32 M 1

d 3

экв

0.0306 м

[ ]

Округляем диаметр вала по ГОСТ 6636-80

d рас 0.03 м .

Поверочный расчет диаметра вала с учетом циклических напряжений

Сечение 1. Так как в этом сечении концентраторов напряжений нет, то принимаем K 1. Поверхность вала шлифованная ( Rz 1.6 мкм), поэтому ко-

эффициент влияния шероховатости поверхности KF 0.99 (см. рис.). Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения Kd 0.9 (см. кри-

вую 1 на рис.).

Нормальные напряжения меняются по симметричному циклу и определяются изгибающим моментом

M изг

M x2 M y2

(1102 95.52 ) 146 Нм

a

max

M изг

32 191

72 МПа

Wx

0.032

m 0 .

Коэффициент запаса по выносливости равен

nr n 1

1

210 0.99 0.9

2.63

(K a ) /(K F

Kd )

72

Коэффициент запаса по текучести

nT

T

300

4.17

max

72

Принимая наименьшее значение, получим n1

2.63 .

Сечение II. В этом сечении нужно учесть концентраторы напряжений: прессовую посадку и шпоночную канавку. Используя табл. 2.2, получим для шпоночной канавки K 1.6 . Из-за наличия концентратора напряжений коэффи-

циент влияния абсолютных размером имеет другое значение Kd 0.85 (см. кривую 2 на рис. 2.7), т. е. K / Kd 1.88 . Для прессовой посадки имеем K / Kd 1.9 (см. табл. 2.3). Таким образом, принимаем наибольшее значение K / Kd 1.9

Далее расчет проводится, как для сечения I:

			M изг				(1102				95.52 )		146 ,
						a	max				32 146	55 ,
											0.032
	n		n				210			2.0 , n				300	5.46 .
		r		1
							1.9 55				T	55
Итак, n11	2.0 . Этот коэффициент является наименьшим для сечений I и II,
поэтому для вала принимаем n					2.0 .

Коэффициент запаса n 1.7 , следовательно, необходимо уменьшить диа-

метр вала и вновь провести поверочный расчет.

Возьмем d = 2,8 см. Сечение II при расчете по циклическим напряжениям оказалось более опасным, поэтому дальнейший расчет ведем лишь по сечению II.

Так как диаметр изменился, то Kd

0.88 (см. рис. 2.7), поэтому

K / Kd 1.82 1.9 . Пересчитаем напряжения

a

32 146

67

, m 0 .

0.0282

Учтем, что

n

nr

210

1.63

1.9 67.6

Расчет по касательным напряжениям производим с учетом того, что они

постоянны во времени, поэтому

m max

M z

16 95.5

22.2 , a

0 .

0.0282

Wp

Общий коэффициент запаса прочности

n

n

n

1.63 9.46

1.6 .

n2

n2

1.632 9.462

Необходимое условие 1.4 n 1.7 выполняется, следовательно, можно принять d = 2,8 см.

Вопросы к лекции.

1.Потенциальная энергия упругой деформации.

2.Понятие о критериях прочности.

3.Критерий текучести Треска-Сен-Венана.

4.Критерий текучести Губера-Мизеса-Генки.

5.Критерий прочности Мора для хрупких материалов

Лекция 15.

Устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб)

Понятие об устойчивой и неустойчивой формах равновесия

Равновесие называется устойчивым, если система, будучи выведенной, из состояния равновесия каким-либо воздействием, вновь возвращается в исходное положение после удаления воздействия.