lektsii_sopromat_6-10

Основной нагрузкой нити является собственный вес, который представляется в виде равномерно распределенной нагрузки . Кроме веса во многих случаях необходимо учитывать обледенение и давление ветра.

Характеристикам нити являются: удельный вес материала нити - γ, площадь сечения - F, интенсивность распределенной весовой нагрузки – qb F ,

интенсивность распределенной нагрузки обледенения - qл, интенсивность ветровой нагрузки – qв.

Толщина льда в зависимости от климатического района принимается рав-

ной л (0,5 2,5) см.

dл dп 2 л

Интенсивность ледовой нагрузки qл л F

Интенсивность нагрузки от давления ветра в горизонтальной плоскости задается по формуле

qв k qck dл .

Здесь: к ≈ 1,2 – аэродинамический коэффициент, α ≈ 0,85 – коэффициент неравномерности ветра, qck ≈ (400 – 1250) Па – в зависимости от климатической зоны.

Суммарная интенсивность нагрузки определяется как

~
		((qп qл )	2	2
q				qв .

Плоскость действия суммарной нагрузки, совпадающая с плоскостью провисания нити, не будет вертикальной.

В качестве материалов нити используют различные металлы. Ниже приведены характеристики некоторых материалов.

			Коэффициент
Материал	Удельный вес,	Модуль	температурного	Предел
	104 Н/м3	упругости,	расширения	прочности,
		1011 Па	1/град	МПа
сталь	8,0	2,0	12,5*10-6	550
алюминий	3,0	0,63	23*10-6	160

Расчет гибкой нити на прочность

Отметим, что площадь сечения электрического провода выбирается из электрического расчета, а после этого производится проверка прочности.

Очевидно, что задача один раз статически неопределимая Расчетная схема гибкой нити имеет вид

1. Рассмотрим вначале статическую сторону задачи.

Из уравнений статики для всей системы определим опорные реакции

прZ 0 → Az Bz 0

прY 0 → Ab Bb q l 0

momB 0	→	Az	h Ab	l q	l 2	0
				2

Отсюда выразим опорные реакции через неизвестное пока натяжение нити - H

A B H ,	A	ql	H	h	,	B	ql	H	h
z z	b	2		l		b	2		l

Определим растягивающее усилие в нити, для чего рассмотрим равновесие отсеченной части

прZ 0 → H Tz					0,
прY 0 → Ab Ty q z 0/
Отсюда T (z) H ,	T	H	h		q (	l	z)
z	y		l		2

Растягивающее усилие в произвольном сечении равно

							h
	T (z) (T 2		T 2 ) H		1
		z	y
							l

	q l		q	2
				z	.
	2H		H

Максимальное значение растягивающего усилия имеет место при z = l

				h		q l		2
T	H 2				H				,		(1)
max
			l			2

то есть Tmax f (H ) является функцией от натяжения нити.

Для нитей с небольшим провисанием максимальное растягивающее усилие приблизительно равно усилию натяжения Tmax H , поэтому для таких нитей

расчет на прочность ведется по величине натяжения Н.

Из третьего уравнения равновесия отсеченной части нити определим выражение для провисания y(z)

momk

0

→ Ab

z H y q

z 2

0 .

2

1

qz

2

Отсюда

y(z)

Ab z

.

2

H

После подстановки выражения для опорной реакции Ab , получим

h

ql

qz 2

y(z)

z

.

(2)

l

2H

2H

Определим максимальное значение провисания из условия

dy

0 .

dz

dy

h

ql

qz

0 →

l

H h

1

Hh

z*

l

(3)

2

dz l 2H H

2 ql

2

ql

h

ql

l

Hh

q

l

Hh 2

y

(z) y(z

)

max

*

2 ql

2H

2

ql

l

2H

После преобразований, получим

y

h

1

ql 2

1

Hh2

(4)

max

ql 2

2

8 H

2

Замечание: максимальное провисание может лежать вне пролета

Из выражения (3) следует, что z

l , если H

ql 2

.

*

2h

Наибольшее провисание в пределах пролета (отклонение изогнутой линии нити от прямой, соединяющей опоры) называется стрелой провисания – f.

Из выражения (2) при z = l/2 имеем

h

ql

l

q

l

2

h

ql 2

y(l / 2)

l

2H

2

2H

2

2

8H

Из рисунка видно, что
f	h	y(l / 2)	ql 2	.	(5)
2			8H

Выразим из последнего выражения натяжение нити через неизвестную пока величину – стрелу провисания

H	ql 2	.	(6)
	8 f

2. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим геометрическую сторону задачи. А именно, выразим длину подвешенной нити S через провисание f и длину пролета l.

Рассмотрим элемент нити длиной dz

dy

2 0,5

1

dy

2

ds

(dz 2 dy2 )

1

dz 1

dz

dz

2

dz

Дифференцируя выражение (2), получим

dydz hl 2qlH Hq z ,

	где	A	h2
			l 2

dy

2

2

A Bz Cz

,

dz

q l

2

q h

, B 2

q h

q 2l

C

q2

,

2

H 2

2H

Y

H l

H

								l
Вычислим длину подвешенной нити						S ds . Пропуская промежуточные
								0
вычисления, получим
S l	h2		1		q2l 3		.	(7)
	2l		24			H 2

Удлинений подвешенной нити ΔS равно S S L , где L - длина неподвешенной нити (при монтаже). Очевидно, что не обязательно L l0 .

Итак,

	S l	h2		1		q2l 3	L .	(8)
		2l		24		H 2
С другой стороны выразим удлинение нити как сумму удлинений от натя-
жения SH	и от температурного воздействия St .

Для пологих нитей за расчетное растягивающее усилие можно приближенно принять натяжение нити. Тогда удлинение от натяжения можно вычислять по известной формуле сопротивления материалов

	S			H l0		H l
		H		E F		E f cos( )

где φ – угол подъема подвешенной нити.

Кроме удлинения нити от натяжения, необходимо учесть удлинение от температуры окружающей среды

	St l0 (t t0 )	l	(t t	0 ) ,
		cos( )

где α - коэффициент температурного расширения материала нити, t0 - начальная температура нити (температура отсчета), t - температура окружающей среды.

Итак

S SH St .

(9)

Приравняем выражения (8) и (9)

l

h2

1

q2l 3

L

H l

(t t

)

l

E F cos( )

cos( )

2l

24

H 2

0

Отсюда определим монтажную длину нити, выраженную через натяжение,

нагрузку и температуру

L l

h2

1

q2l 3

H l

(t t

)

l

.

(10)

2l

24

H 2

E F cos( )

0

cos( )

Монтажную длину нити можно считать известной, так как она определяется при монтаже как длина неподвешенной нити. Понятно, что монтажная длина

нити должна быть равна или больше расстояния между точками крепления нити l0 . С точки зрения расчета статически неопределимой системы, которой является

схема подвески нити, это и есть условие (уравнение) совместной деформации. Уравнение совместности деформаций можно привести к другому виду. Преобразуем выражение

h2

1

h

2

2

2

2

l

l 1

l

(1 (h / l)

)

l

h

l0

2l

2

l

С учетом этого выражение (10) примет вид

L l

1

q2l 3

H l

(t t

)

l

.

(11)

0

24 H 2

E F cos( )

0

cos( )

Разрешим уравнение (11) относительно натяжения нити, приняв Т = 0

H H (L, q, l, T,...).

(12)

L

h2

q 2l 3

H 3 l

L H 2

0

E F

2l

24

Зная натяжение нити, вычислим по формуле (5) провисание нити

f

q l 2

,

(13)

8H

и относительное провисание нити

f

q l

(14)

l

8H

Замечание. Как правило, H ql , поэтому f / l 1, то есть в практиче-

ских расчетах провисание мало.

Представим выражение (11) в виде

1

q2l 3

(15)

M

H

t

24 H 2

Здесь M L l0 - разность между монтажной длиной нити и расстоянием

между точками подвеса нити;

H l

H E F - удлинение нити за счет натяжения;

t (t t0 ) l0 - температурное удлинение нити0

Из (15) следует, что учет удлинения нити за счет натяжения температурное удлинение нити существенны, если

H M

t M .

(16)

Проверка надежности нити

1. Проверка прочности по напряжениям. После определения натяжения нити по уравнению (12), вычисляются максимальное усилие формуле (1) и далее проверяется условие прочности

max			Tmax	[ ] .	(17)
	max
			F

2. Проверка максимального провисания провода. После определения максимального провисания нити по формуле (*) проверяется условие

fmfx [ f ],

(18)

где [ f ] - допускаемое провисание провода, которое определяется или

прочностными расчетами, или величиной габаритного расстояния от поверхности земли, что связано с высотой опор, на которых крепится провод.

Учет влияния нагрузки и температуры на напряжения и провисание нити

Рассмотрим два состояния нити: начальное, которое характеризуется параметрами qн, tн, fн, Hн и некоторое конечное состояние, характеризуемое параметрами qk, tk, fk,, Hk. Для этих состояний монтажная длина определяется выражением (9)

	L l0	1		qн2l 3		H н l0	(tн t0 ) l0 ,	(19)
		24		H 2		E F
				н

L l

1

qk2l 3

0

24

H 2

k

Введем обозначения н

qн

F

Hн

1

qн l 2

1

н l 2

,

н

F 8

fн F

8

fн

H k

l0

(t

t

) l

.

(20)

k

0

E F

0

,

qk

,

k

F

H k

1

qk l 2

1

k l 2 .

k

F

8

fk

F

8

fk

Используя эти обозначения и приравнивая выражения друг другу, выражения (19), (20) можно получить уравнение

				3			н
	fk3 f	н2
				64 E fн

l 4

3

l 2

3

k

l 4

E

(tk

t

н )

fk

0 .

(21)

cos( )

cos( )

8

64 E

cos( )

Это уравнение называется уравнением состояния нити. Из этого уравнения, которое можно записать в виде

f 3	a f	k	b 0,	(22)
k

находят стрелу провисания в произвольном состоянии через известные параметры начального состояния.

Уравнение состояния нити можно записать в напряжениях

					2l 2 E									2l 2 E
3					н		E (t		t	)		2		k	0 .	(23)
k			н		24	2		k	н			k		24
						н

Из этого уравнения следует:

при малой длине пролета

k н Е (tk tн ) ,

то есть изменение напряжений зависит преимущественно от изменения температуры окружающей среды;

при пролетах большой длины

			k	,
	k		н	н

то есть изменение напряжений зависит преимущественно от нагрузки.

Введем понятие критической длины пролета lкр , при которой напряжения в

нити одинаковы в двух различных состояниях и равны допускаемому значению для данного материала нити

k н [ ].

(24)

За начальное примем состояние, при котором на нить действует только собственный вес нити, что является минимальной нагрузкой. Если g - безраз-

мерная распределенная нагрузка от собственного веса, то н g . В инженерной

практике принято, что такое состоянии реализуется при температуре окружающей среды равной tmin 30 0C .

За конечное примем состояние, при котором на нить действует максимальная нагрузка. За максимальную нагрузку принимают состояние обледенения. Если max - безразмерная распределенная нагрузка от собственного веса и

обледенения, то k max . Принято, что такое состоянии реализуется при температуре окружающей среды равной tобл 5 0C .

Из выражений (23 и (24)определяется критическая длина нити

		24 (t		t		)
l [ ]			обл		mib		.		(25)
кр		2		2
		max	g

Из этого выражения следует, что если длина пролета меньше критической длины, то наибольшее напряжение в нити будет при низкой температуре. Если длина пролета больше критической, то наибольшее напряжение будет при наибольших нагрузках. Эти положения согласуются с приведенными выше результатами, полученными из выражения (23) при рассмотрении предельных значений длины пролета.

Вопросы к лекции.

1.Что такое «гибкая нить».

2.Расчет гибкой нити на прочность.

3.Проверка надежности нити.

4.Учет влияния различных факторов на напряжения и провисание нити.

Лекция 8.

Кручение стержней кругового поперечного сечения

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор - крутящий момент Мz. Крутящий момент, с одной стороны, равен сумме моментов внутренних сил, лежащих в плоскости поперечного сечения стержня, относительно продольной оси стержня Oz.

M z dF .	(8.1)
F

С другой стороны, крутящий момент в рассматриваемом сечении определяется внешними воздействиями и равен алгебраической сумме внешних моментов, расположенных слева или справа от рассматриваемого сечения,

M z (z) momz M z(k ) ,	(8.2)
k K

где К – множество внешних крутящих моментов, расположенных слева или справа от сечения, то есть момент M z (z) определяется из уравнения статики

Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки.

xz и yz

Рассмотрим элементарную площадку dF, расположенную на расстоянии ρ от центра сечения. В площадке dF, лежащей в плоскости сечения действуют касательное напряжение τ , которое можно разложить на составляющие

Тогда соотношение (8.1) запишем в виде

(8.3)

Гипотезы теории кручения стержней кругового поперечного сечения

Из экспериментов известно, что если вал с предварительно нанесенной на его поверхности сеткой, закручивать, то первоначально прямые углы сетки искажаются. Контуры параллельных кругов не искривляются и расстояния между кругами не изменяются. Продольные линии сетки становятся винтовыми.

Из этого формулируются следующие гипотезы.

1. Кинематическая гипотеза: Поперечные сечения стержня, плоские и параллельные друг другу до деформации остаются плоскими и параллельными друг другу и после деформации (гипотеза Бернулли).

Из этого следует, что продольные деформации стержня равны нулю, то

есть

z

0

2.Гипотеза о не надавливании волокон: контуры поперечных сечений

иих радиусы не деформируются, то есть остаются круговыми. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачиваю-

щиеся при деформировании относительно оси стержня Оz. Отсюда следует, что деформации в плоскости сечения равны нулю, то есть

;

3. Физическая гипотеза: материал стержня подчиняется закону Гука. Учи-

тывая, что x

y

z 0 , из обобщенного закона Гука в форме

x

1

( x ( y z )) , y

1

( y ( x z )) , z

1

( z ( y x )) ,

E

E

E

или в цилиндрических координатах

1

(

(

)) ,

1

(

(

)) ,

1

(

(

))

r

r

z

r

z

z

z

r

E

E

E

следует, что нормальные напряжения равны нулю

x y z 0 .

Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения, а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно, напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Тензор напряжений имеет вид

	0			0
~			0	0
		0	0	0

Опытом установлена линейная зависимость между касательными напряжениями и деформацией, в качестве которой принят угол сдвига γ.

G ,

где коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига, который выражается через модуль Юнга

G	E
		.
	2(1 )

Вывод формулы для касательных напряжений

Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и будем считать, что правое сечение элемента неподвижно.

При повороте левого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге AB, вызывая поворот волокна на угол сдвига

				d		d
		AB					,
				dz		dz
		AC

где φ – угол закручивания.

Обозначим через ddz - погонный угол закручивания. Тогда

Так как сечение при деформации не искажается, касательное напряжение τ перпендикулярно радиусу ρ

Вычислим

M z dF G dF G dF G 2 dF G J p ,

F F F F

где J p - полярный момент инерции поперечного сечения. Запишем последнее выражение в виде

	M z	.
	G J p

Используя закон Гука, получим формулу для касательных напряжений

G G G	M z		M z	.
	GJ p		J p

Перепишем последнюю формулу

(z, ) M z (z) ,

J p (z)

то есть, касательные напряжения в рассматриваемом сечении зависят от расстояния точки до центра тяжести сечения и, кроме того, они являются функцией крутящего момента и полярного момента инерции поперечного сечения по длине стержня.

В рассматриваем сечении касательное напряжение равно нулю в центре тяжести сечения, и принимают наибольшее значение на внешней поверхности стержня.

Введем обозначение Wp	J p	. Эта величина называется моментом сопро-
	max

тивления, здесь max - наибольшее расстояние от центра тяжести до периферий-

ной поверхности. Как правило, это внешний радиус кругового или кольцевого поперечного сечения. Тогда наибольшие значения напряжений вычисляются по формуле

max max M z .

Wp