lektsii_sopromat_6-10

Формула для угла закручивания

Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня Величина GJp, называется жесткостью поперечного сечения при кручении.

Вычислим угол закручивания элемента длиной dz

и найдем полный угол закручивания стержня длиной l

	l	M z (z)
				dl .
		G J
	0

В случае если по длине стержня Мz и GJp постоянны, получим

Когда эти величины кусочно-постоянны, то вся длина стержня разбивается на участки так, чтобы в пределах каждого участка крутящий момент и жесткость стержня постоянны. В этом случае

n	M (k ) l (k )
		(k ) (k ) .
		z
k 1 G			J p

Потенциальная энергия упругой деформации при кручении

Пусть имеет место линейная зависимость между крутящим моментом и углом закручивания/

Тогда приращение потенциальной энергии на длине стержня приблизительно равно приращению работы, которая равна dA 1/ 2 M z d , то есть площади под кривой M z ( ) .

dU dA	1	M z d	1		M z dz		M z2
				M z				.
					GJ p
	2		2				2GJ p

Потенциальная энергия при кручении стержня длиной l равна

	U	l	M z2 (z)		dz .
		2GJ		p
		0

Если на длине l в подынтегральном выражении все величины постоянны, то

U	M 2	l
	z		.
	2GJ p

Если эти величины кусочно-постоянны, то, как и ранее, вся длина стержня разбивается на участки так, чтобы в пределах каждого участка крутящий момент и жесткость стержня постоянны. В этом случае

n (M (k ) )2 l (k )
U	z			.
	2G	(k )	(k )
k 1			J p

1,3

Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Расчеты на прочность проводятся по условию прочности

max max M z [ ] .

Wp

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления. Для кругового сечения диаметром d

W круг d 3 ,

p 16

Для кольцевого сечения с отношением c0 d0 / d

Wpкольц	d	3
	16	(1 c04 ) .

Замечание. Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение является наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Из условия прочности вытекают три типа задач:

1.Проверка прочности (или подбор материала стержня). Для детали с известными внешними нагрузками и размерами сечения выбрать материал так, чтобы выполнялось условие прочности maxрасчет [ ].

2.Выбор допускаемой нагрузки. Для детали, выполненной из определенного материала, и известными размерами сечения стержня, подобрать такую нагрузку, чтобы максимальные напряжения не превосходили допускаемых напряжений.

3.Подбор сечения стержня. Известны нагрузки и материал, их которого предполагается выполнить стержень. Необходимо подобрать такое сечение стержня, чтобы выполнялось условие прочности, то есть, чтобы максимальные напряжение не превосходили допускаемых напряжений.

При кручении часто ограничивающим условием является не условие прочности, а условие жесткости, то есть ограничение углов закручивания

max max M z [ ] .

GJ p

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня - чистый сдвиг, являющийся, частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения стержня, возникают экстремальные касательные напряжения, а главные напряжения

действуют на площадках, наклоненных к оси стержня под углами ; главное напряжение 2 0

Расчет валов

Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность N (Вт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности к ее потребителю. При этом крутящий момент вычисляется по формуле

M кр N .

Здесь угловая скорость вращения вала n .

30

Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах. Если задача статически неопределима, то сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость, то есть найти все опорные реакции. Далее строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz.

Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид

max max M z [ ] .

Wp

Из этого выражения находим момент сопротивления и далее диаметр вала. Для вала кругового сечения Wp 0,2d 3 , поэтому

d max M z .

3

0,2 [ ]

Для вала кольцевого сечения Wp 0,2d 3 (1 c04 ) , поэтому

	max M z
d 3		.
	0,2 (1 c04 ) [ ]

Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в ограничении погонного угла закручивания вала

Для вала кругового сечения J p 0,1d 4 , поэтому

d max M z . 4 0,1 G[ ]

Для вала кольцевого сечения J p 0,1d 4 (1 c04 ) , поэтому

d 4	max M z
		.
	0,1 (1 c04 ) G [ ]

Замечания.

1.Если диаметр вала вычисляется из условия прочности и условия жесткости, то за допускаемое значение диаметра вала принимается наибольшее из двух.

2.Кольцевое сечение при кручении является более рациональным с точки зрения расхода материала.

Вопросы к лекции.

1.Внутренние силовые факторы при кручении стержней.

2.Гипотезы теории кручения стержней кругового поперечного сечения.

3.Напряжения и деформации при кручении.

4.Вычисление углов закручивания.

5.Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Лекция 9.

Расчет на прочность и жесткость винтовых пружин с малым углом подъема витков

Рассмотрим цилиндрическую пружину, работающую на растяжение (сжатие). Здесь D - диаметр пружины, d - диаметр проволоки пружины, α - угол наклона проволоки пружины.

Точный расчет пружины на прочность достаточно сложен, так как проволока пружины может одновременно испытывать деформации кручения, сдвига и изгиба. Если угол наклона витков пружины мал (5 – 15 градусов), то деформацией изгиба можно пренебречь.

Для упрощенного расчета введем предположения:

1. tg ( ) 1, то есть, приближенно будем считать, что витки расположены в горизонтальной плоскости, поэтому можно пренебречь деформацией изгиба.

2. d << D , то есть можно приближенно считать проволоку пружины прямолинейным стержнем.

Рассмотрим равновесие отсеченной части пружины. Из условия равновесия отсеченной части пружины в осевом сечении прутка пружины должны воз-

никать сила Qy P и момент M z P D2 Сила Qy будет поперечной силой, вызы-

вающей деформацию сдвига (среза). Момент Мz будет крутящим моментом, вызывающим деформацию кручения.

Сила вызывает касательные напряжения сдвига (среза)

Здесь коэффициент k f (d / D) 4 / 3 учитывает приближенность расчетной схемы ( не учет изгиба, изменение радиуса кривизны витка, неравномерность распределение напряжения сдвига по сечению).

Крутящий момент вызывает так же касательные напряжения

Наибольшие напряжения возникают на внутренней стороне витка (в точке А). В случае кругового сечения витка они равны

max

4

P

P D / 2

8 PD

2 d

1

.

3

d 2 / 4

d 4 / 32

d 3

3 D

Как правило, d << D , поэтому малым членом можно пренебречь

max		8 PD	.
		d 3

То есть проволока пружины работает в основном на кручение. Если d/D не столь мало, то вводится коэффициент к = (1.14 – 1.4) в формулу для максимального напряжения в витке

max	k	8 PD	.
		d 3

Расчет на прочность пружины состоит в проверке условия прочностиmax .

Пружины изготовляются из высокопрочной стали, поэтому допускаемо напряжение составляет (300 – 600) МПа.

Вычисление осадки пружины

Осевое перемещение пружины λ называется осадкой пружины.

Осадку пружины вычислим из энергетических соображений. С одной стороны работа по деформированию пружины определяется как работа внешней силы

A 12 P .

С другой стороны эта работа (если не учитывать потерь энергии) преобразуется в потенциальную энергию

	U	L M z2		(z)		dz
		2GJ			p
		0

где L Dn длина проволоки пружины.

Приравнивая работу силы Р энергии деформации кручения проволоки пружины, определим осадку пружины

1		1	L	P D 2			d z					P 2	D2
	P
2		2 0		2			GJ						4
								1			8 P 2 D3 n			.
						2						G d 4

Представим это выражение в виде

G d 4

где c 8 D3 n - жесткость пружины.

D n			1		8 P 2 D3 n	.
G	d 4		2		G d 4
	32

P

c

При расчетах пружин требуется выполнение условия жесткости

max расч .

Алгоритм расчета параметров пружин

Задача расчета пружин обычно ставится следующим образом. Задается максимальное значение усилия Pmax которое должна воспринимать пружина. При

этом осадка пружины не должна превышать значение max и выполняться условие

прочности. Необходимо вычислить диаметр пружины, диаметр проволоки и число витков пружины.

Расчет производится в следующем порядке.

1.	Задаются индексом пружины, то есть отношением диаметра пружины к
диаметру проволоки D / d из ряда чисел (6, 8, 10,…).
2.	Из условия прочности
	max	8 Pmax D		8 Pmax	,
		d 3
				d 2

определяется диаметр проволоки

8 P

d max .

3. Вычисляют диаметр пружины

D d .

4. Из условия жесткости

	max		8 Pmax D3 n	3	8 Pmax n
			G d 4		G d

вычисляют количество витков пружины

n	G d
		.
	8 3 P
	max

Если число витков пружины n =1, 2 , то необходимо уменьшить индекс пружины и повторить расчет.

Вопросы к лекции.

1.Внутренние силовые факторы в сечениях пружины.

2.Упрощающие предположения при расчете пружин.

3.Расчет на прочность и податливость пружины.

4.Алгоритм расчета параметров пружин.

Лекция 10.

Изгиб стержней

Изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникают изгибающие моменты и поперечные силы.

Изгиб называется прямым, если внешние нагрузки и соответствующие деформации и перемещения лежат в одной плоскости, проходящей через главные центральные оси инерции сечения.

Если силовая плоскость не совпадает с главными осями сечения, то изгиб называется косым.

В таблице приведены отличные от нуля внутренние силовые факторы при различных видах изгиба

Классификация видов изгиба

	Чистый изгиб
	В плоскости 0yz: M x				0 .
Прямой изгиб	В плоскости 0xz: M y				0
	Поперечный изгиб
	В плоскости 0yz: M x			0 , Qy		0 .
	В плоскости 0xz: M y			0 ,	Qx	0 .
	Чистый изгиб
	M x 0 , M y 0 .
Косой изгиб
	Поперечный изгиб
	M x	0 , Qy	0 ,
	M y	0 , Qx	0 .

Правило знаков для внутренних силовых факторов

Прямой чистый изгиб стержня

Прямой чистый изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх.

Гипотезы

1. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях: поперечны сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и нормальными к искривленному нейтральному слою и после деформации. Использование этой гипотезы позволяет установить линейную зависимость деформации в точках поперечного сечения.

2. Гипотеза о не надавливании продольных волокон. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу, что

x y 0 .

Из этого следует, что в поперечном сечении стержня имеют место только нормальные напряжения σz, направленные вдоль оси стержня/

3. Материал стержня следует закону Гука (модель формы материала), то

есть

z E z .

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями σz. При этом часть волокон находится в зоне растяжения, а другая часть - в зоне сжатия. Эти зоны разделены нейтральным слоем, не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю.

Вывод формулы для нормальных напряжений

Рассмотрим стержень в условиях прямого чистого изгиба с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси. Чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии. Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого пока неизвестно.

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе изображен справа рисунке. Считаем, что левое сечение закреплено. Ввиду малости угла dυ считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АA, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии у

AB00 ABdz

Из подобия треугольников С00 и 0AВ следует, что

	AB	y		dz ,
поэтому			y		.

Здесь y – это расстояние от нейтральной оси, положение которой пока неизвестно.

Для согласования знаков изгибающего момента Мх и нормальных напряжений σ в правой части формулы ставится знак минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения σ при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу.

Вычислим нормальное напряжение, растягивающее волокно АА, на основании закона Гука

E E y

Вэтой формуле неизвестны кривизна нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у.

Изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох.

x

y

E

E J

x

M

y dF

E ydF

E

ydF

y 2 dF

F

F

F

F

Отсюда кривизна

1

, которая характеризует деформацию при изгибе,

определяется через значение внешнего силового фактора (изгибающего момента Mх) и величину E J x , которая называется жесткостью стержня при изгибе

1

M x

.

E J

x

Замечание: эта формула аналогична формулам вычисления деформаций

при растяжении

N z

и кручении

M z

.

E F

G J p

Определим далее напряжения

E E

y

E y

M x

M x

y .

E J

x

J

x

Перепишем эту формулу в общем виде

(z, y)

M x (z)

y .

(10.1)

J x (z)

Здесь M x (z) - эпюра изгибающего момента;

J x (z) - осевой момент инерции

поперечного сечения. Он может быть постоянным, если форма и размер поперечного сечения стержня постоянны на всей длине стержня. у – расстояние от нейтральной линии до рассматриваемой точки поперечного сечения. Определение этого параметра рассмотрено ниже.

Из формулы (10.*) видно: во-первых, что напряжение линейно изменяется по высоте сечения, во-вторых – напряжение равно нулю на нейтральной линии и принимает максимальное значение в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии.

		max	M x			ymax .
				J x
Введем величину Wx	J x	, которая называется моментом сопротивления
	ymax
сечения при изгибе, тогда
		max			M x		.
					Wx

Для наиболее применяемых профилей момент сопротивления равен: 1. прямоугольник