Лекция 7. Функции комплексной переменной. Предел. Непрерывность. Дифференцирование функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции комплексной переменной

Функция комплексной переменной и ее непрерывность

Пусть на комплексной плоскости заданы множество E и закон, ставящий "z =x + iy Î E в соответствие определенное комплексное число

w = u + iv : z ® w. Тогда говорят, что на множестве М определена функция комплексного переменного и символически записывают:

w = f (z) =u(x, y) + iv(x, y), где u( x, y) = Re f (z) --- действительная часть функции f (z) , v( x, y) = Im f ( z) --- мнимая часть функции f (z) , E --- множество

задания (z).

M --- множество значений, соответствующих w --- множеству значений f ( z). Задание f (z) есть задание соответствия (отображения) E ® M .

Примеры:

а) w = az + b (поворот, растяжение и параллельный перенос);

б) w = zn ;

в) w =1 / z (симметричное отражение относительно вещественной оси, инверсия). Структура множеств E и M может быть весьма разнообразной. В данном курсе рассматриваются случаи, когда E и M --- области на комплексной плоскости.

Понятие области комплексной плоскости --- это то же самое, что и понятие области плоскости (x, y).

Определение 1.5.} Областью G комплексной плоскости} Z называется множество точек этой плоскости, удовлетворяющее условиям:

1)все z ÎG являются внутренними точками G ;

2)любые z1, z2 ÎG можно соединить ломаной с конечным числом звеньев,

состоящих только из z ÎG. Примеры:

а) | z |<1 --- область;

б) | z |£1 --- не область;

в) {z : | z |<1}È{z :| z -5i |<1} --- не область.

Определение 1.6. Точка z0 называется внутренней точкой множества G ,

если $e > 0 \ "z \ {z :| z - z0 |< e} Ì G.

Примеры:

а) z = 0 --- внутренняя точка множества | z |< 1;

б) z = i --- не является внутренней точкой множества | z |£ 1.

Таким образом, в определении области первое условие означает, что G --- открытое множество; второе условие означает, что G --- связное множество.

41

Итак, область --- открытое связное множество.

Определение 1.7. Точка z0 называется граничной точкой множества G , если в любой ее e -окрестности имеются как z ÎG , так и z Î/ G. Примеры:

а) z = 0 --- граничная точка множества | z |> 0;

б) z = i --- граничная точка множества | z |£ 1.

Совокупность граничных точек области G называется границей области G (обозначения: ¶G, C, G, S и т.д.)

Граница множества может состоять из конечного числа точек и даже из одной точки (как, например, у множества| z |> 0 ).

Определение 1.8. Замыкание области G , состоящее в присоединении к

G ее границы ¶G , называется замкнутой областью G = G È ¶G. Множество {z :| z |£ 1} --- замкнутое.

Расширенная комплексная плоскость (т.е. комплексная плоскость с бесконечно удаленной точкой) --- замкнутое множество, которое называется компактным. Итак, будем рассматривать случай, когда w = f (z) задана в G и отображает G на

область D комплексной плоскости w.	Отображение однозначно по определению.
Если z1, z2 ÎG и z1 ¹ z2 :=f (z1 ) w1 ¹ w2	= f (z2 ) , то отображение взаимно-однозначно
G Û D.
В этом случае G называется областью однолистности f (z) и f (z) называется
однолистной в G.

Примеры:

а) w = const,= w az + b --- однозначные и однолистные;

б) w = zn , w = ez --- однозначные, но не однолистные;

в) w = Ln z ln | z=| +iArg(z), w = z --- неоднозначные функции.

При G Û D в D существует обратная функция z = j(w), осуществляющая отображение D ® G.

Если отображение G ® D однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной. Так как

z = x + iy, f (z)= u(x, y) + iv(x, y), то, тем самым, задание f (z) в G комплексной плоскости z есть одновременное задание двух действительных функций двух действительных переменных в области G плоскости (x, y). Поэтому свойства функций

комплексной переменной во многом определяются свойствами функции двух действительных переменных.

Определение 1.9} по Гейне. Комплексное число w0 называется

пределом функции f (z), z ÎG в точке z0 ÎG , если для

"{zn} ® z0 соответствующая последовательность

{ f (zn )} ® w0 .

42

Замечание. Предполагается, что z0 является точкой сгущения (предельной точкой) множества G.

Определение 1.10. Точка z0 ÎG называется точкой сгущения (предельной точкой)

множества G , если в любой e -окрестности точки z0 содержатся точки множества G ,

отличные от z0 .
Определение 1.11 (по Коши}. Комплексное число w0		называется
пределом} функции f ( z),	z ÎG в точке f (z) Î С (G) , если для "e > 0 существует
d (e, z0 ) > 0 такая, что "z:	0 <| z - z0 |< d Þ| f (z) - w0 |< e.
Обозначение:
lim f (z) = w0.
z®z0
Определения по Гейне и по Коши эквивалентны.		f ( z), z ÎG называется
Определение 1.12. Функция комплексной переменной

непрерывной в точке z0 ÎG , если существует ограниченный предел:

lim f (z) = f (z0 ).

z®z0

Очевидно, при этом достаточно малая d -окрестность точки z0 отображается f (z) на достаточно малую e -окрестность точки w0 = f (z0 ).

Определение 1.13. Функция комплексной переменной		f ( z), z ÎG называется
непрерывной в точке z0 ÎG , если "e > 0	$d (e, z0 ) > 0	"z(| z - z0 |< d Þ| f (z) - f (z0 ) |< e).

Замечание. Это определение распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества.

Определение 1.14. Точка z0 называется изолированной точкой множества G , если существует такая ее e -окрестность, в которой нет других точек множества G , кроме самой точки z0 .

Замечание. 1. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z0 ÎG.

2. Понятие непрерывности функции z ÎG в точке z0 ÎG справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z0 = ¥ .

При этом под пределом функции f (z) при z ® ¥ по Гейне надо понимать предел последовательности{ f (zn )}, где {zn } --- любая неограниченно возрастающая последовательность.

В определении 1.13 при z ® ¥ условие | z - z0 |< d надо заменить на условие

| z |> R.

Примеры:

а) функция w = arg( z) является непрерывной на всей комплексной плоскости за исключением точек z = 0, z = ¥ и точек, лежащих на положительной части действительной полуоси.

Определение 1.15. Функция комплексной переменной f ( z), z ÎG называется непрерывной в областиG , если она непрерывна в любой точке z ÎG. Обозначение: f (z) ÎC(G).

Аналогично определяются понятия f (z) ÎC(G) и f (z) ÎC(¶G).

43

zn ÎG или

Замечание.

При этом при определении непрерывности по Гейне в G или ¶G

надо рассматривать последовательности{zn } , состоящие только из точек

zn ζG .

В случае понятия непрерывности по Коши для

f (z) ÎC(G) для заданного e число d зависит от (e, z) (d = d (e, z)), т.е. на e -окрестность любой точки w= f ( z)ÎD отображается d -окрестность соответствующей точки z , где d для

различных z различна.	f ( z), z ÎG
Определение 1.16. Функция комплексной переменной
называется равномерно непрерывной в G , если для "e>0	$d (e )>0

(зависящее только от e ),\ "z1, z2ÎG (| z1 - z2 |< d Þ | f (z1 ) - f (z2 ) |< e$).

Любые d -близкие точки области G отображаются на соответствующие

e -близкие точки области D . Очевидно, что из равномерной непрерывности следует f (z) ÎC(G) .Обратное, вообще говоря, не всегда верно.

Определение 1.17. Множество G называется ограниченным, если оно

целиком содержится в некотором круге: существует R > 0 и z0: G Ì {z: | z - z0 |< R}.

Если компактное множество не содержит бесконечно удаленной точки, то оно ограничено.

Теорема 1.3. Если f (z) ÎC(G) и G ограничена, то f (z) --- равномерно непрерывна в

G .

Функцию комплексной переменной f (z) можно представить в виде f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

где u( x, y) и v( x, y) --- действительные функции действительных переменных. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4.Необходимым и достаточным условием непрерывности f (z) в

G \ ( f (z) ÎC(G) ) является требование, чтобы u( x, y) и v( x, y) были непрерывны в области G плоскости (x, y) по совокупности переменных.

Данное утверждение является следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.

Функцией комплексного переменного z = x + iy можно было бы считать любую функцию вида

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

но тогда все свелось бы к изучению отображения на плоскости

f : R2	® R2	é xù	éu(x, y)ù
		, ê ú	® ê	ú.
		ë yû	ëv(x, y)û

При изучении аналитических функций, изучаемых в ТФКП, выделяют особое понятие дифференцируемости

V f ( z) = f (z +Vz) - f (z)= AVz + o (|Vz |),

44

где A --- комплексное число, которое называется производной в точке z и обозначается

f ¢(z), либо df . dz

Если бы речь шла просто об отображении плоскости, то определение дифференцируемости совпадало бы по записи с данным выше, но A было бы матрицей

é¶u

ê ¶x A = ê

ê ¶v êë ¶x

¶u ù

¶y úú. ¶v ú

¶y úû

Нам же надо, чтобы A было бы комплексным числом. Это сильно ограничивает класс рассматриваемых функций.

Определение 2.1. Функция f (z) называется дифференцируемой (или моногенной в

точке z0 ÎG , если при Vz ® 0 Vz = z - z0 , V=f f (z0 +Vz) - f (z0 ) существует конечный предел разностного отношения:

V f def

lim º f ¢(z0 ).

Vz ®0 Vz

Центральная идея теории функций комплексной переменной возникает при формулировке понятия производной. На первый взгляд, эта производная определяется совершенно аналогично производной функции действительной переменной как предел разностного отношения:

f ¢(z0 ) = lim	f (z0 +Vz) - f (z0 )	.
Vz®0	Vz

Однако приращение комплексного аргумента Vz характеризуется не только величиной |Vz | , но и направлением argVz , а производная по определению от этого направления не зависит.

Поэтому дифференцируемость функции комплексной переменной, значительно более редкое явление, чем дифференцируемость функции вещественной переменной, а дифференцируемые функции комплексной переменной --- аналитические функции ---

обладают гораздо более единообразными свойствами, чем дифференцируемые функции действительной переменной.

Важнейшая задача ТФКП --- обсудить свойство аналитичности с разнообразных точек зрения, дать его характеристики на разных языках.

Теорема 2.1.} Если f (z) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема (моногенна)

в точке z0 , то существует ux (x0 , y0 ), uy (x0 , y0 ), vx (x0 , y0 ), vy (x0 , y0 ), причем они связаны условиями Коши--Римана:

ux (x0 , y0 ) = v=y (x0 , y0 ); uy ( x0 , y0 ) -vx (x0 , y0 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Vz =Vx + iVy. Так как предел, если он существует,

не зависит от способа стремленияVz ® 0 , то положим сначала Vz =Vx. Получаем

45

lim

V f

=lim

u(x0 +Vx, y0 ) - u(x0 , y0 ) + i(v(x0 +Vx, y0 ) - v(x0 , y0 ))

= = u

(x

, y

) + iv

(x

, y

) = *.

Vx®0 Vx Vx®0

Vx

x

0

0

x

0

0

ПоложивVz = iVy , получаем

* = lim

V f

=

Vy®0 iVy

= -i lim

u(x0 , y0 +Vy) -u(x0 , y0 ) + i(v(x0 , y0 +Vy) - v(x0 , y0 ))

= = -iu

y

(x , y

) + v

y

(x , y

).

Vy®0

Vy

0

0

0

0

Приравнивая вещественную и мнимую части, получаем

ux (x0 , y0 ) = v=y (x0 , y0 );

uy ( x0 , y0 ) -vx (x0 , y0 )

условия Коши--Римана.

Пусть f (z) ÎC(G) и f (z) = u(x, y) + iv(x, y).

Теорема 2.2. Если в точке z0 = (x0 , y0 ) ÎG существуют первые дифференциалы функций u( x, y) , v( x, y) и первые частные производные этих функций в точке (x0 , y0 ) связаны условиями Коши--Римана, то f (z) --- дифференцируемая (моногенная) функция в точке z0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим, что существование первых дифференциалов означает, что

Vu = ux (x0 , y0 )Vx + uy (x0 , y0 )Vy +x (x, y),

где

lim

x(x, y)

= 0.

|Vz|®0

|Vz |

Аналогично, Vv = vx ( x0 , y0 )Vx + vy ( x0 , y0 )Vy +h(x, y),

где

lim

h(x, y)

= 0.

|Vz|®0

|Vz |

Обозначим z ( x, y) = x (x, y) + ih(x, y). Тогда

V f

ux Vx + uy Vy + ivx Vx + ivy Vy

z

(x, y)

=

+

= = áтак= как u

y

-v= и v

y

u

x

ñ =

Vz

Vx + iVy

Vz

x

=

ux Vx - vx Vy + ivx Vx + iux Vy

+

z (x, y)

=

Vx + iVy

z ( x, y)

Vz

= u

x

(x

, y

) + iv

x

(x , y ) +

.

0

0

0

0

Vz

Отсюда следует, что существует производная

lim

V f

= f ¢(z0 ).

Vz ®0 Vz

Замечаниe.

1. Эквивалентные формы записи производной:

46

f ¢(z) = ux ( x, y) + ivx (x, y) = vy (x, y) + ivx (x, y) = = ux ( x, y) - iuy (x, y)= vy (x, y) - iuy (x, y).

2.	Теорема 2.2 не является обратной к теореме 2.1.
3.	Равенство lim	V f	= f ¢(z0 ) равносильно тому, что "e > 0	$d > 0 "Vz
	Vz ®0 Vz

(|Vz |< d Þ|V f /Vz - f ¢(z0 ) |< e ).

Если f (z) дифференцируема (моногенна) в точке z0 , то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение 2.2 (основное.) Функция f (z) называется аналитическойв точке z0 , если она дифференцируема в точке z0 и f ¢( z) непрерывна в точке z0 . Функция f (z) , дифференцируемая (моногенная) во всех точках z ÎG и f ¢(z) ÎC(G), называется

аналитической в области G .

Обозначение: f (z) ÎC¥ (G) (смысл такого обозначения станет ясно позже.)

Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f (z) в области G .

Заметим, что аналитичность подразумевает существование хотя бы окрестности некоторой точки, в которой функция дифференцируема. И это главное отличие аналитической функции в точке от просто дифференцируемой в точке. Функция f (z) =| z |2 , например, дифференцируема только при z = 0.

Теорема 2.3. Необходимым и достаточным условиями аналитичности

функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) в области G являются непрерывность первых частных производных ux , u y , vx , vy и связь их условиями Коши--Римана.

Теорема 2.4. Если u( x, y), v(x, y) ÎC(G) , в точке z0 = (x0 , y0 ) ÎG существуют первые частные производные ux , u y , vx , vy , связанные условиями

Коши--Римана, то f (z) --- дифференцируемая (моногенная) функция в точке z0 .

Теорему 2.3 заменит теорема 2.5.

Теорема 2.5. Необходимым и достаточным условиями аналитичности

функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) в области G являются непрерывность u( x, y), v( x, y) и в любой точке z = (x, y) ÎG существуют первые частные производные

ux , uy , vx , vy , связанные условиями Коши--Римана. Следствие 2.1 условий Коши--Римана.

1)	Действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют
уравнению Лапласа
uxx + uyy= Vu= 0;		vxx + vyy = Vv= 0.
2)	Действительная и мнимая части аналитической функции

f (z) = u(r,j) + iv(r,j) комплексной переменной z = reij связаны соотношениями vj = =rur , uj -rvr .

3) Модуль и аргумент аналитической функции f (z) = R(x, y)eiF( x, y )

47

связаны соотношениями

Rx = RFy ,= Ry -RFx .

Свойства аналитических функций.

1.Если f (z) ÎC¥ (G) аналитическая в G , то f (z) ÎC (G) непрерывна в G .

2.Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля.

3.Если w = f (z) ÎC¥ (G) --- аналитическая функция комплексной переменной z ,причем в области ее значений D на плоскости w определена аналитическая функция

x = j(w) ÎC ¥ (D), то функция F (z) = j[ f (z)]ÎC ¥ (G) --- аналитическая функция комплексной переменной z в области G .

4.Пусть w = f (z) u=(x, y) + iv(x, y) ÎC¥ (G) и f ¢(z0 ) ¹ 0 z0 ÎG .

Тогда в окрестности точки w0 = f (z0 )								определена обратная аналитическая функция
	z = j(w) ÎC ¥ (| w - w |< e ), отображающая эту окрестность на окрестность точки z ,
			0								0
причем j¢(w0 ) =1/ f ¢( z0 ).
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Для существования обратной функции необходимо, чтобы
уравнения u = u(x, y),					v = v(x, y) можно было разрешить относительно x, y в окрестности
точки w0 , т.е. эти уравнения задают неявные функции x, y как функции u, v.											Для этого
достаточно, чтобы в окрестности точки z0									выполнялось условие
	ux	uy		¹ 0.
	vx	vy
Но
	ux	uy		= ux vy - u=y vx	áусловие Коши - Риманаñ = ux2 + vy2 | f ¢(z=0 ) |2 ¹ 0.
	vx	vy
Доказано существование обратной функции z = j(w).
Cоставив разностное отношение						Vz	=	1		, можно
						Vw		Vw /Vz
доказать существование и непрерывность производной j¢(w0 )
при условии | f ¢(z0 ) |¹ 0.
5. Пусть в односвязной области G плоскости (x, y) задана функция u( x, y),											являющаяся

действительной частью аналитической функции f ( z).

Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу условий Коши--Римана дифференциал неизвестной функции v( x, y) однозначно определен по функции u( x, y): dv = vx dx + vy dy = -u y dx + ux dy.

48

Функцию двух действительных переменных можно определить по ее полному дифференциалу с точностью до аддитивной постоянной.

6. gradu = (ux , uy ), \ gradv = (vx , vy ), \

(gradu, gradv) = uxvx + u yvy = -uy vy + uy vy = 0.

Так как градиент ортогонален линии уровня, значит линии уровня u( x, y) = c, v(x, y) = c взаимно ортогональны.

Примеры простейших аналитических функций комплексной переменой:

1) константа f (z) = C аналитична на расширенной комплексной плоскости, f ¢(z) = 0;

2) линейная функция f (z) = az + b аналитична на всей комплексной плоскости, f ¢(z) = a;

3) функция f (z) = 1 / z аналитична всюду, кроме точки z = 0 ;

4) функция f (z) = z n ( n --- целое число) аналитична на всей комплексной плоскости, f ¢(z) = nzn-1;

Физическая интерпретация

Гидродинамическая модель. Рассмотрим безвихревое, без источников и стоков течение жидкости:

r

¶u

¶u

r ¶v

¶u

divv

=

+

= 0,

=

rotv

-

= 0.

¶x

¶x

¶x

¶y

Если ввести функцию

f (z) = v( x, y) + iu(x, y),

то выписанные условия становятся для f (z) условиями Коши--Римана. Линии тока для потока

dz = f (z). dt

Рассмотрим

Решение этого уравнения имеет вид

U (x, t) = j(x - ct) +y (x + ct).

Этот результат следует из разложения волнового оператора

¶2

- c

2 ¶

æ ¶

- c

¶ öæ

¶

+ c

¶ ö

,

W=

ç

=

֍

÷

¶t

2

¶x

2

¶t

è ¶t

¶x øè

¶x ø

49

сводящего задачу к уравнениям первого порядка

¶j	= -c	¶j	;	¶y	= c	¶y	.
¶t				¶t
		¶x				¶x

Действуя аналогично для уравнения Лапласа

VU = ¶2U + ¶2U = 0, ¶x2 ¶y2

приходим к разложению

¶2

¶

æ ¶

=-i

¶ öæ ¶

+ i

¶ ö

V=

+

ç

֍

÷.

¶x

2

¶y

2

è

¶y

¶x øè ¶y

¶x ø

Считая y временем,

i скоростью, получим U = j(x - iy) +y (x + iy)

и

¶j

= -i

¶j

,

¶y

= i

¶y

, что означает для

¶y

¶x

¶y

¶x

j(x, y) = u( x, y) - iv(x, y),=

y (x, y) n (x, y) + ix (x, y) выполнение условий Коши--Римана.

50