2. Вычитание

Рассмотрим приемы вычитания в различных позиционных системах счисления на примерах.

ПРИМЕР 1:Вычтем единицу из чисел 10₁₀, 10₂, 10₈ и 10₁₆.

Десятичная: 10₁₀ – 1₁₀ Двоичная: 10₂ – 1₂ Восьмеричная: 10₈–1₈

Шестнадцатеричная:

ПРИМЕР 2:Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Двоичная: 100₂ – 1₂ Восьмеричная: 100₈ – 1₈ Шестнадцатеричная: 100₁₆ – 1₁₆

ПРИМЕР 3:Вычтем число 49,75 из числа 51,25 в различных позиционных системах счисления.

Десятичная: 51,25₁₀ -49,75₁₀ Двоичная:110011,01₂ –110001,11₂

Восьмеричная: 63,2₈– 61,6₈ Шестнадцатеричная: 33,4₁₆ – 31,С₁₆

Ответ:51,25₁₀ - 49,75₁₀ = 1,5₁₀ =1,1₂ = 1,4₈ = 1,8₁₆

Проверка. Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные разности в десятичные:

1,1₂ = 1 x 2⁰ + 1 x 2^-1 = 1 + 1/2 = 1,5₁₀

1,4₈ = 1 x 8⁰ + 4 x 8^-1 = 1 + 4/8 = 1 + 1/2 = 1,5₁₀

1,8₁₆ = 1 x 16⁰ + 8 x 16^-1 = 1 + 8/16 = 1 + 1/2 = 1,5₁₀

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Вычесть числа в различных позиционных системах счисления. Сделать проверку.

Номер варианта	Числа	Номер варианта	Числа
1	49 и 39	9	98 и 56
2	67 и 58	10	31 и 19
3	98 и 56	11	83 и 39
4	34 и 12	12	48 и 14
5	63 и 35	13	65 и 28
6	41 и 14	14	83 и 49
7	85 и 23	15	52 и 23
8	72 и 48	16	45 и 29

3. Прямой, обратный и дополнительный двоичные коды

В компьютерной арифметике, которая базируется на двоичной системе счисления, операция «вычитания» заменяется операцией «сложения».

Рассмотрим, как это происходит.

Для хранения целых чисел в памяти ЭВМ выделяется фиксированное число двоичных разрядов – бит. Рассмотрим 8–и битовое представление числа. Каждый бит нумеруется «слева – направо» от 0 до 7.

вес разряда

нумерация бит в байте

2^6

2^5

2^4

2^3

2^2

2^1

2^0

7 6 5 4 3 2 1 0

Старший бит – седьмой – используется для знака числа: 0 – это положительное число, 1 – отрицательное.

Если в разрядах байта с 0 по 6 поместить абсолютное значение числа, а в 7-ом бите установить его знак (0 или 1), то полученное представление числа называется прямым двоичным кодом.

Если в прямом коде число представлено как отрицательное (7-ой бит равен 1), то в числе инвертируются ¹ все разряды, кроме знакового. Такое представление числа называется обратный двоичный код.

После прибавления к обратному коду 1 получается дополнительный двоичный код.

Использование дополнительного двоичного кода позволяет создавать схемы, выполняющие вычитание, умножение и деление посредством операции сложения.

Рассмотрим на примерах операцию вычитания для 8-и битовых чисел.

ПРИМЕР 1:Вычесть число 3 из 5 (101₂ – 011₂).

• Запишем абсолютное значение числа -3 в байте

0

0

0

0

0

0

1

1

• В знаковый – седьмой – бит запишем признак отрицательности числа 1 и получим прямой двоичный код числа -3.

1

0

0

0

0

0

1

1

• Инвертируем все разряды в числе, кроме знакового

1

1

1

1

1

1

0

0

Получим обратный двоичный код числа -3.

• Прибавим к обратному коду единицу

1

1

1

1

1

1

0

1

Получим дополнительный двоичный код числа -3.

• Сложим число 5 и дополнительный двоичный код числа -3

Получили число 010₂ = 2₁₀.

Ответ:101₂ – 011₂ = 010₂

Проверка:Сделаем проверку, преобразуя двоичные числа к десятичному виду:

5₁₀ – 3₁₀ = 2₁₀

ПРИМЕР 2:Вычесть число 49 из 63

• Прямой двоичный код числа -49

1

0

1

1

0

0

0

1

• Инверсный код числа -49 (обратный двоичный код)

1

1

0

0

1

1

1

0

• Дополнительный код числа -49

1

1

0

0

1

1

1

1

• Сложим число 63 и дополнительный код числа -49

Получили число 1110₂ = 14₁₀

Ответ: 11 1111₂ – 11 0001₂ = 1110₂

Проверка: 63₁₀ – 49₁₀ = 14₁₀

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.Используя схемы примера 1 или 2, сделайте вычитание целых чисел, используя дополнительный двоичный код.

Номер варианта	Числа	Номер варианта	Числа
1	81 и 17	9	64 и 32
2	42 и 18	10	51 и 28
3	42 и 36	11	92 и 48
4	61 и 28	12	67 и 29
5	74 и 28	13	82 и 29
6	62 и 39	14	53 и 29
7	43 и 28	15	83 и 38
8	78 и 49	16	68 и 29