2. Методические указания к решению типовых задач

На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 200, 300 и 500 ед. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 200, 200, 300 и 400 ед. груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей:

С=

Требуется:

1) составить экономико-математическую модель задачи;

2) найти первоначальное распределение поставок: а) методом северо-западного угла; б) методом минимальных затрат.

3) выбрать лучшее распределение поставок и найти такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной.

Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Решение:

1) составление экономико-математической модели ТЗ

Искомый объем перевозки от i-ro поставщика к j-му потребителю обозначим x_ij и назовем поставкой клетки (i,j). Заданные объемы груза, имеющегося на базах, и спросы магазинов накладывают ограничения на значения неизвестных. Получаем следующую систему ограничений из уравнений баланса по строкам и столбцам.

Транспортная задача – задача на минимум. Поэтому целевая функция имеет вид:

2) найдем первоначальное распределение поставок (опорное решение)

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи – условие закрытости модели.

Имеем открытую модель транспортной задачи, необходимо сбалансировать общие итоги. Вводим 4-го, фиктивного поставщика с запасами

a₄ = 1100-1000 = 100

и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза.

а) Построим первоначальное распределение поставок методом северо-западного угла:

Распределим запасы первой базы. Так как ее запасы а₁=200 равны потребностям первого магазина b₁=200, необходимо ввести условную нулевую поставку, например, по строке. Из дальнейшего рассмотрения исключаются первая строка и столбец (см.табл.2.2)

Т а б л и ц а 2.2

bj ai	200	200	300	400
200	4 200	3 0	2	1
300	2	3	5	6
500	6	7	9	12
100	0	0	0	0

Распределим запасы второй базы. Так как ее запасы а₂=300 больше потребностей второго магазина b₂=200, в клетку (2,2) вносим число 200, вычеркиваем второй столбец и запоминаем, что остатки груза на второй базе составляют а₂'=300-200=100 (см.табл.2.3)

Т а б л и ц а 2.3

bj ai	200	200	300	400
200	4 200	3 0	2	1
300	2	3 200	5	6
500	6	7	9	12
100	0	0	0	0

Распределим остатки запасов второй базы. Так как ее запасы а₂’=100 меньше потребностей третьего магазина b₃=300, в клетку (2,3) вносим число 100, вычеркиваем вторую строку и запоминаем, что третьему магазину следует допоставить 200 ед.груза (b₂’=300-100=200) (см.табл.2.4)

Т а б л и ц а 2.4

bj ai	200	200	300	400
200	4 200	3 0	2	1
300	2	3 200	5 100	6
500	6	7	9	12
100	0	0	0	0

Последовательно выполняя такие действия, получаем первоначальное распределение поставок по методу северо-западного угла, приведенное в таблице 2.5.

Т а б л и ц а 2.5

bj ai	200	200	300	400
200	4 200	3 0	2	1
300	2	3 200	5 100	6
500	6	7	9 200	12 300
100	0	0	0	0 100

Полученное решение является базисным, т.к. выполняется необходимое и достаточное условиеr=m+n-1=4+4-1=7. Найдем значение целевой функции для полученного решения

F=4200+3200+5100+9200+12300=7300 руб.

б) Построим первоначальное распределение поставок методом наименьших затрат (минимальной стоимости):

Среди элементов стоимостей выбираем наименьшую стоимость (без учета нулевых стоимостей условной, четвертой базы) с₁₄=1. В соответствующую клетку записываем максимально возможную поставку х₁₄=max {a₁, b₄}={200, 400}= 200. Потребности 4-го магазина уменьшаем на 400-200=200, вычеркиваем первую строку (табл.2.6).

Т а б л и ц а 2.6

bj ai	200	200	300	400
200	4	3	2	1 200
300	2	3	5	6
500	6	7	9	12
100	0	0	0	0

В оставшейся части таблицы поставок также определяем элемент с наименьшим тарифом – это с₂₁=2. Здесь наибольшая возможная поставка составит х₂₁=max {a₂, b₁}={300, 200}= 200, запасы второй базы уменьшаем до 100 ед., вычеркиваем первый столбец – табл.2.7.

Т а б л и ц а 2.7

bj ai	200	200	300	400
200	4	3	2	1 200
300	2 200	3	5	6
500	6	7	9	12
100	0	0	0	0

Продолжая таким же образом, получаем первоначальное распределение поставок методом минимальной стоимости, приведенное в таблице 2.8.

Т а б л и ц а 2.8

bj ai	200	200	300	400
200	4	3	2	1 200
300	2 200	3 100	5	6
500	6	7 100	9 300	12 100
100	0	0	0	0 100

Полученное решение имеет r=m+n-1=4+4-1=7 базисных переменных. Вычислим значение целевой функции на этом опорном решении .

F=1200+2200+3100+7100+9300+12100=5500 руб.

Сравнивая значения целевых функций для опорных планов, полученных методами северо-западного угла и минимальной стоимости, делаем вывод, что целевая функция для второго случая ближе к минимуму.

3) проверка критерия оптимальности найденного решения

По признаку оптимальности в каждой занятой опорным решением таблицы ТЗ сумма потенциалов равна стоимости (u_i+v_j=c_ij при ). Составим систему уравнений для нахождения потенциалов строк и столбцов матрицы поставок

Система состоит из семи уравнений и имеет восемь переменных. Система неопределенная. Одной переменной задаем произвольное значение (пусть u₁=0). Остальные значения потенциалов находятся однозначно:

u1 = 0 u2 =7 u3 = 11 u4 = -1

v1 =-5 v2 =-4 v3 = -2 v4 = 1

Вычислим оценки свободных клеток с учетом найденных потенциалов:

Критерий оптимальности не выполняется, т.к. d₂₄=-2<0.

- переход к следующему опорному решению

Для перехода к следующему базисному решению построим цикл для клетки (2,4) – загрузим ее поставкой (см. табл. 2.9).

Т а б л и ц а 2.9

bj ai	200	200	300	400
200	4	3	2	1 200
300	2 200	- 3 100	5	+ 6
500	6	+ 7 100	9 300	- 12 100
100	0	0	0	0 100

Определим поставку, передаваемую по циклу γ=min {100, 100} (как наименьшее из чисел, находящихся в вершинах цикла со знаком «-»). Клетку (3,4) с тарифом с₃₄=12 будем считать свободной. Следующее базисное распределение представлено в таблице 2.10

Т а б л и ц а 2.10

bj ai	200	200	300	400
200	4	3	2	1 200
300	2 200	3 0	5	6 100
500	6	7 200	9 300	12
100	0	0	0	0 100

Проверим найденное решение на оптимальность. Составим систему уравнений для нахождения потенциалов строк и столбцов новой матрицы поставок

Пусть u₁=0, тогда

u1 = 0 u2 = 5 u3 = 9 u4 = -1

v1 = -3 v2 = -2 v3 = 0 v4 = 1

Вычислим оценки свободных клеток с учетом найденных потенциалов и проверим выполнение критерия оптимальности:

Критерий оптимальности выполняется, следовательно, найденное опорное решение оптимально. Найдем минимальное значение стоимости перевозок:

F_min=1200+2200+30+6100+7200+9300=4040 руб.

Ответ: F_min= 4040 руб. при .