- •§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания
- •§ 4. Свойства математического ожидания
- •§ 5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •§ 2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •§ 4. Формула для вычисления дисперсии
- •§ 5. Свойства дисперсии
- •§ 6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 7. Среднее квадратическое отклонение
- •§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты
- •§ 1. Предварительные замечания
- •§ 2. Неравенство Чебышева
- •§ 3. Теорема Чебышева
- •§ 4. Сущность теоремы Чебышева
- •§ 5. Значение теоремы Чебышева для практики
- •§ 6. Теорема Бернулли
- •§ 1. Определение функции распределения
- •§ 2. Свойства функции распределения
- •§ 3. График функции распределения
- •§ 1. Определение плотности распределения
- •§ 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
- •§ 4. Свойства плотности распределения
- •§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения
- •§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей
- •§ 1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 2. Нормальное распределение
- •§ 3. Нормальная кривая
- •§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •§ 7. Правило трех сигм
- •§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения
- •§ 13. Распределение «хи квадрат»
- •§ 14. Распределение Стьюдента
- •§ 15. Распределение f Фишера — Снедекора
- •§ 1. Определение показательного распределения
- •§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики показательного распределения
- •§ 4. Функция надежности
- •§ 5. Показательный закон надежности
- •§ 6. Характеристическое свойство показательного закона надежности
§ 10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
Предварительно заметим, что далее, вместо того чтобы говорить «закон распределения вероятностей», будем часто говорить кратко—«распределение».
Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X:
Y=(X).
Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.
1. Пусть аргумент X—дискретная случайная величина.
а) Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.
Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением
-
X
2
3
p
0,6
0,4
Найти распределение функции Y=X2.
Решение. Найдем возможные значения Y :у1 = 22=4; у2=32=9. Напишем искомое распределение Y:
-
Y
4
9
P
0,6
0,4
б) Если различным возможным значениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
Пример 2. Дискретная случайная величина X задана распределением
-
X
-2
2
3
p
0,4
0,5
0,1
Найти распределение функции Y = Х2.
Решение. Вероятность возможного значения у1 = 4 равна сумме вероятностей несовместных событий Х=-2, Х = 2, т. е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения у2=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Y:
-
Y
4
9
p
0,9
0,1
2. Пусть аргумент X — непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции Y = (X), зная плотность распределения случайного аргумента X? Доказано: если у=(х)—дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой x =(y), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находится с помощью равенства
g(y)=f [(y)]| ‘(y)|.
Пример 3. Случайная величина X распределена нормально, причем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функции Y = X3.
Решение. Так как функция у = х3 дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу
g(y)=f [(y)]| ‘(y)|. (*)
Найдем функцию, обратную функции у=х3:
(y)=x=y1/3
Найдем f [ (у)]. По условию,
поэтому
f [ (у)]=f[y1/3]= (**)
Найдем производную обратной функции по у:
’(y)=(y1/3)’= (***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) и (*):
g(y)=
Замечание. Пользуясь формулой (*), можно доказать, что линейная функция Y =АХ+В нормально распределенного аргумента X также распределена нормально, причем для того чтобы найти математическое ожидание Y, надо в выражение функции подставить вместо аргумента X его математическое ожидание а:
M(Y)=Aa+B;
для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение Y, надо среднее квадратическое отклонение аргумента X умножить на модуль коэффициента при X:
(Y) = | А | (X).
Пример 4. Найти плотность распределения линейной функции Y= ЗХ+1, если аргумент распределен нормально, причем математическое ожидание X равно 2 и среднее квадратическое отклонение равно 0,5.
Решение. Найдем математическое ожидание Y:
M(Y)=3*2+1=7.
Найдем среднее квадратическое отклонение Y:
(Y)=3*0,5=1,5
Искомая плотность распределения имеет вид
g(y)=