§ 4. Математическое ожидание случайной функции

Рассмотрим случайную функцию Х(t). При фиксированном значении аргумента, например при t=t₁, получим сечение—случайную величину Х(t₁) с математическим ожиданием М[X(t₁)]. (Полагаем, что математическое ожидание любого сечения существует.) Таким образом, каждое фиксированное значение аргумента определяет сечение—случайную величину, а каждой случайной величине соответствует ее математическое ожидание. Отсюда следует, что каждому фиксированному значению аргумента t соответствует определенное математическое ожидание; это означает, что математическое ожидание случайной функции есть функция (неслучайная) от аргумента t; ее обозначают через m_x(t). В частном случае функция т_x(t) может сохранять постоянное значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной функции Х(t) называют неслучайную функцию m_x(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:

m_x(t)=M[X(t)].

Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые—реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).

§ 5. Свойства математического ожидания случайной функции

Используя свойства математического ожидания случайной величины, легко получить свойства математического ожидания случайной функции.

Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной функции φ(t)(О равно самой неслучайной функции:

М[φ(t)]=φ(t).

Свойство 2. Неслучайный множитель φ(t) можно выносить за знак математического ожидания:

М[φ(t)Х(t)]=φ(t)М[X(t)]=φ(t)т_x(t).

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M[X(t)+Y(t)]=m_x(t)+m_y(t).

Следствие. Для того чтобы найти математическое ожидание суммы случайной и неслучайной функций, достаточно к математическому ожиданию случайной функции прибавить неслучайную функцию:

M[X(t)+φ(t)]=m_x(t)+φ(t).

Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной, а неслучайная функция—постоянной величиной. Например, свойство 3 доказывается так: при фиксированном значении аргумента случайные функции Х(t) и У(t) являются случайными величинами, для которых математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание случайной функции X(t)=Ucost, где U—случайная величина, причем M(U)=2.

Решение. Найдем математическое ожидание, учитывая, что неслучайный множитель cost можно вынести за знак математического ожидания:

М[X(t)]=М [Ucos t] = cos tM(U) = 2 cost.

Итак, искомое математическое ожидание m_x(t)=3cost.

§ 6, Дисперсия случайной функции

Рассмотрим случайную функцию Х(t). При фиксированном значении аргумента, например при t=t₁, получим сечение—случайную величину Х(t₁) с дисперсией D[X(t₁)]=0 (предполагается, что дисперсия любого сечения существует). Таким образом, каждое фиксированное значение аргумента определяет сечение—случайную величину, а каждой случайной величине соответствует ее дисперсия. Отсюда следует, что каждому фиксированному значению аргумента t соответствует определенная дисперсия; это означает, что дисперсия случайной функции есть функция (неслучайная, причем неотрицательная) от аргумента t; ее обозначают через D_x(t). В частном случае D_x(t) может сохранять постоянное значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение дисперсии.

Дисперсией случайной функции Х(t) называют неслучайную неотрицательную функцию D_x(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:

D_x(t)=D[X(t)].

Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных реализации (кривых) вокруг математического ожидания случайной функции («средней кривой»). При фиксированном значении аргумента дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений (ординат) сечения вокруг математического ожидания сечения («средней ординаты»).

Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квадратическое отклонение случайной функции, которое определяют по аналогии со средним квадратическим отклонением случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной функции называют квадратный корень из дисперсии: