- •Заочное обучение
- •2. Методические указания к изучению дисциплины
- •§2. Случайные события. Операции
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
- •§5. О статистической и геометрической вероятностях
- •§6. Простейшие свойства вероятностей
- •§7. Условные вероятности. Независимость событий
- •§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
- •§9. Формула полной вероятности
- •§10. Формула байеса
- •Комментарии к задаче № 2
- •§11. Повторные независимые испытания
- •§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
- •Комментарии к задаче № 3
- •§13. Случайные величины дискретного типа.
- •§14. Функция распределения
- •§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
- •§16. Дисперсия случайной величины
- •§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения
- •Комментарии к задаче № 4
- •§18. Случайные величины непрерывного типа.
- •§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
- •§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин
- •4. Методические указания к выполнению задания № 5
- •Часть 2.
- •Дискретный вариационный ряд
- •Интервальный вариационный ряд
- •Дискретный вариационный ряд
- •Корреляционная таблица
- •5. Контрольные задания № 1-№ 4
- •Контрольные задания № 5
- •6. Выбор варианта. Требования к оформлению контрольной работы
- •7. Список литературы
- •Нормированная функция Лапласа
- •Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения
- •Критические точки распределения
- •Приложение 5
- •Тема 3.2. Случайная величина, классификация и основные теоремы
- •Тема 3.3.Основные предельные теоремы
- •Тема 3.4. Системы случайных величин
- •Тема 3.5. Статистическое оценивание и проверка гипотез
- •Образец оформления титульного листа
§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы бернулли
Хотя формула Бернулли и является точной, она не всегда удобна. Например, при 100 бросках монеты
,
и вычисление точного ответа затруднительно. Формула Бернулли приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает 10-15. При больших n используют либо формулу Лапласа, либо формулу Пуассона.
Формула Лапласа ( локальная теорема Лапласа )
, ,
тем точнее, чем больше n. Здесь n, k, p, q те же величины, что и в формуле Бернулли. Функция x) четная: x) = x) . Она быстро убывает: считают, что при x > 4 x) = 0. Таблица, позволяющая вычислять значения функции (x), имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей. Впрочем, можно не иметь таблицы, а иметь калькулятор, вычисляющий экспоненту (функцию ех).
Пример 1. Вероятность выпадения ровно 50 “орлов” при 100 бросках монеты Р100(50) вычислим по формуле Лапласа. Здесь n = 100 ,k = 50 ,p=0,5, q = 0,5 , k np = 0 , и
.
Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 “орлов” при 100 бросках монеты.
При решении подобных задач ( при n > 15 ) используют интегральную теорему Лапласа: вероятность Рn(k1,k2) появления события в n испытаниях от k1 до k2 раз
Здесь n, p, q те же, что и в примере 1 : n=100 , p = q =0,5 , k1=47 , k2 = 57 .
Функция вычисляется с помощью таблиц ( см. приложение ).
Функция Ф(x) нечетная: Ф(х) = Ф(х) . При х > 5 считают, что Ф(х) = 0,5.
Итак, Р100(47,57) = Ф(1,4) + Ф(0,6). По таблице Ф(1,4) = 0,4192, Ф(0,6) = 0,2257 , поэтому Р100(47,57) = 0,6449.
При небольших значениях вероятности p ( меньших 0,1 ) и больших значениях n более точный результат дает другая приближенная формула формула Пуассона
, np
называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает “закон редких явлений” (т. к. p мало).
Пример 3. Первый черновой набор “Методических указаний” на 50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка, 2 опечатки, 3 опечатки?
Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу взятую страницу равна 1/50 = 0,02 , число испытаний ( опечаток ) n = 100 . Поскольку p мало, воспользуемся формулой Пуассона с параметром = np = 2 . Вероятность того, что опечаток нет
( т.к. 0! = 1 )
Другие вероятности
,.
Как видим, наибольший коэффициент при е2 у Р100(1) и Р100(2).
Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность .
Комментарии к задаче № 3
§13. Случайные величины дискретного типа.
Cлучайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное числовое значение из заранее известной совокупности значений. Случайной величиной дискретного типа (дискретной случайной величиной) называется величина, которая может принимать либо конечное число возможных значений, либо такое бесконечное число значений, которые могут быть расположены в числовую последовательность Е1, Е2, ... . Для каждого из этих значений указывают его вероятность. Сумма этих вероятностей должна быть равна 1. Если случайная величина принимает только одно значение, то соответствующая ему вероятность равна 1.
Пример 1. Пусть Х1 - число “орлов”, выпавших при двух бросках симметричной монеты. Х может принимать значения 0, 1 или 2 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: . Т. к. p = q = 0,5 , то эти вероятности равны 0,25; 0,5; 0,25 соответственно.
Дискретные случайные величины записывают в виде таблицы. Для данного примера получим:
Х1 |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
Верхняя строчка возможные значения Х1, Р их вероятности, сумма которых равна 1.
С помощью таблицы можно считать вероятности попадания случайной величины дискретного типа в интервалы. Например, для заданной выше случайной величины Х
.
Пример 2. В полном наборе игры в домино 28 костей. Пусть Х2 – сумма очков на случайно выбранной кости. Поскольку наименьшее значение такой суммы равно 0 («пусто-пусто»), следующее – 1 и так до 12 («6-6»), Х является случайной величиной дискретного типа. Зададим ее таблицей.
Х2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Р |
Вероятности в этой таблице вычислены по формуле классической вероятности, в числителях дробей количества костей домино с данным числом очков, знаменатели равны общему числу костей.
Случайные величины традиционно обозначаются заглавными буквами X, Y, Z, ... , а их возможные значения - прописными: x1, x2, y1, и т. д.