372537677
.pdf31
№ 31. Индивид предъявляет спрос на два блага, отображающийся
функциями X D 480 P |
и |
Y D 240 P . Определите общую полезность |
|
X |
Y |
|
|
благ, купленных индивидом при РX = 19,2 и |
РY = 15, если известно, что |
||
она измеряется функцией U |
X Y и + |
= 0,75. |
№ 32. Индивид с бюджетом 128 ден. ед. при заданных ценах полностью израсходует бюджет, если купит либо 3 ед. блага X и 10 ед. блага Y, либо 4 ед. блага X и 8 ед. блага Y. Какое количество блага X следует ку-
пить данному индивиду для максимизации своей функции полезности
U = X0,25Y0,75?
№33. Для полного удовлетворения потребности в благе X индивиду
Атребуется 6 ед., а индивиду В – 30 ед. этого блага. Индивид А покупает его только при Р < 18, а индивид В – при Р < 10. При какой цене оба индивида купят одинаковое количество блага X?
№34. Спрос индивида на благо отображается функцией QD=60–3P. Вследствие снижения дохода индивид при любой цене стал покупать на 6 единиц блага меньше. Какова должна быть цена, чтобы индивид после снижения своего дохода покупал 21 единицу блага?
№35. Бюджет индивида равен 200 ден. ед. Если при РY = 5 меняется цена блага X, то уравнение линии «цена–потребление» отображается формулой Y = X + 4. Сколько блага Y будет потреблять индивид при
РX = 4?
№ 36. Бюджет индивида равен 100 ден. ед. При РY = 2 его линия «це- на–потребление» отображается формулой Y 0,1X 2 . На сколько единиц
индивид изменит потребление каждого блага при повышении цены блага X с 1 ден. ед. до 8 ден. ед.?
№37. Бюджет индивида равен 120 ден. ед. При РY = 4 его линия «це- на–потребление» отображается формулой Y = 0,5X. На сколько единиц индивид изменит потребление каждого блага при снижении цены блага X
с1 ден. ед. до 0,5 ден. ед.?
№38. Построить линии «цена–потребление», если доход индивида составляет 100 ден. ед. и если:
а) U(X, Y) = X × Y, PY = 10 ден. ед.;
б) U(X, Y) = X(Y + 10), PY = 5 ден. ед.;
в) U(X, Y) = X Y , PY = 2 ден. ед.
32
№ 39. При ценах РX = 4 РY =5 линия «доход–потребление» индивида имеет следующий алгебраический вид: Y = 2X+5. Сколько блага X будет потреблять индивид при бюджете I = 333?
№ 40. При ценах РX = 2; РY = 1 линия «доход–потребление» индивида имеет вид: Y 0, 2 X 2 . На сколько единиц индивид изменит потребление каждого блага при увеличении его бюджета с 120 до 240 ден. ед?
№ 41. При ценах РX = 1; РY = 2 линия «доход–потребление» индивида имеет вид: Y 0,1X 2 . На сколько единиц индивид изменит потребление каждого блага при увеличении его бюджета со 100 до 150 ден. ед?
№ 42. Построить линии «доход-потребление», если:
а) U(X, Y) = X × Y, PX = 5 ден. ед., PY = 5 ден. ед.;
б) U(X, Y) = (X + 10)Y, PX = 5 ден. ед., PY = 5 ден. ед.; в) U(X, Y) = 5X + 4Y, PX = 2 ден. ед., PY = 5 ден. ед.
№43. Индивид имеет следующую функцию полезности: U = X × ×Y.
Его бюджет равен 140 ден. ед. PX = 7 и PY = 20 ден. ед.
а) Определить равновесную (оптимальную) структуру покупок индивида.
б) Определить функцию спроса индивида на благо Y, если PX = 7 и не меняется.
в) Определить эффект дохода и эффект замены при снижении PY с 20 до 5 ден. ед. по Хиксу.
№44. Функция полезности индивида имеет вид U(X, Y) = X × Y.
а) Какое количество товаров X и Y будет приобретать индивид, если его доход равен 140 ден. ед., цены товаров X и Y соответственно равны PX = 7 ден. ед., PY = 20 ден. ед.? Изобразите точку оптимума графически.
б) Найдите количество товаров X и Y, при приобретении которых максимизируется полезность индивида, если цена товара Y возрастет до 40 ден. ед.
в) Определите величину эффекта замены по Хиксу и по Слуцкому, эффекта дохода и общего эффекта изменения цены для пункта б.
г) Определите компенсирующее и эквивалентное изменение дохода.
№ 45. Определите графически эффект дохода, эффект замены и общий эффект изменения цены для следующих случаев:
а) товар X – нормальный, X и Y дополняют друг друга в потреблении, цена X снизилась;
33
б) товар Y – нормальный, X и Y являются взаимозаменяемыми благами, цена Y увеличилась;
в) товар X – низшего качества, X и Y дополняют друг друга в потреблении, цена X снизилась;
г) товар Y – низшего качества, X и Y являются независимыми благами, цена Y увеличилась;
д) товар X является товаром Гиффена, X и Y являются взаимозаменяемыми благами, цена X возросла;
е) товар X является товаром Гиффена, X и Y являются взаимодополняемыми благами, цена X возросла.
№ 46. Известна функция полезности индивида U X 5 0,5 Y 9 0,25 , его бюджет I = 120 и цены благ PX = 3; PY = 1. Определить:
1)Сколько единиц каждого блага купит индивид?
2)Сколько единиц каждого блага купит индивид в случае: а) уменьшения его бюджета до 90; б) снижения цены блага Y до PY = 0,5?
3)Сколько единиц каждого блага купит индивид в случае снижения
цены блага Y до PY = 0,5 под воздействием эффекта замены (без учета эффекта дохода)?
4)Компенсирующее изменение бюджета потребителя в случае снижения цены блага Y до PY = 0,5.
5)Коэффициент перекрестной эластичности спроса на благо X при исходных значениях бюджета и цен и определите, являются товары X и Y для данного потребителя взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
6)Коэффициент эластичности спроса на благо Y по бюджету при исходных значениях бюджета и цен.
№47. Функция спроса на благо имеет вид: Q = 9 – 2P. Эффект замены при росте цены товара с 2 до 3 ден. ед. составляет (-0,75). Определить эффект дохода.
№48. Уравнение кривой Энгеля, выражающей зависимость объема спроса индивида на картофель от его бюджета при неизменных ценах,
имеет вид: Q |
100I 2 |
. Каких размеров должен достигнуть бюджет инди- |
(I 10)3 |
вида, чтобы он стал относить картофель к некачественным благам?
№ 49. Уравнение кривой Энгеля, выражающей зависимость объема спроса индивида на маргарин от его бюджета при неизменных ценах, имеет вид: QМ= 10I – 0,25I2. Каких размеров должен достигнуть бюджет индивида, чтобы он стал относить маргарин к некачественным благам?
34
№ 50. Функция полезности индивида имеет вид: U(X, Y) = X × Y. Цены благ: PX = 10 ден. ед., PY =1 ден. ед. Вывести функцию кривой Энгеля для товара X при уровнях дохода: I1=100, I2= 200, I3 = 300 ден. ед.
Эластичность
№ 51. Функция спроса на товар X имеет вид:
Цена, ден. |
Объем спро- |
ед./шт. |
са, шт. |
1 |
18 |
2 |
11 |
3 |
10 |
4 |
8 |
5 |
2 |
Определить коэффициент эластичности спроса по цене на участках: а) 1 и 2 ден. ед./шт. б) 3 и 4 ден. ед./шт. в) 4 и 5 ден. ед./шт. и прокомментируйте полученные результаты.
№52. Эластичность спроса населения на данный товар по цене равна
-0,15, по доходу + 0,5. В предстоящем периоде доходы населения увеличатся на 5%, а цена данного товара возрастет на 10%. Как изменится объем спроса на данный товар?
№53. Определить коэффициент прямой эластичности спроса по цене, если известно, что при цене 200 ден. ед. объем спроса на данный товар
40000 шт., а при цене 600 ден. ед. – 30000 шт.
№54. Определите коэффициент эластичности спроса по доходу, если известно, что при доходе 200 ден. ед. в месяц объем спроса на данный товар составит 10 кг, а при доходе 300 ден. ед. – 18 кг в месяц.
№55. Индивид потребляет только два вида товаров: X и Y. Куда сместится кривая спроса на товар Y в результате повышения цены товара X, если спрос на X неэластичный по цене?
№56. Функция спроса на товар X имеет вид: QDX = 100 –2PX + 0,8PY. Цена товара X равна 10 ден. ед., цена товара Y – 5 ден. ед. Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене на товар X и сделайте выводы.
35
№57. Функция спроса на товар X имеет вид: QDX = 50 – 4PX + 0,8PY. Цена товара X равна 5 ден. ед., цена товара Y – 10 ден. ед. Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене на товар X и сделайте выводы.
№58. Дана функция спроса на товар X: QDX = 2 – PX + 0,8PY. Определить коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса на товар
X, если известно, что цена товара X (PX) = 1 ден. ед., а цена товара Y (PY) = 2 ден. ед.
№59. Дана функция спроса на товар X: QDX = 800 – PX + 0,4PY. Цена товара X – 400 ден. ед. за единицу, цена товара Y – 500 ден. ед. за единицу. Определите коэффициент прямой эластичности спроса по цене на товар X
икоэффициент перекрестной эластичности спроса на товар X по цене товара Y.
№60. Спрос на товар Х зависит от его цены и цены его заменителя: QXD 20 4PX PY . Определите коэффициент перекрестной эластичности
спроса на товар Х по цене товара Y при PX = 5; PY = 10.
№61. Дана функция спроса: QD = 8 – 0,5P, где QD – объем спроса в млн шт., P – цена в ден. ед. При какой цене коэффициент прямой эластичности спроса по цене составит - 0,5?
№62. Функция спроса индивида имеет вид: QD = 160 – 4P. При какой цене коэффициент прямой эластичности спроса по цене составит -3?
№63. Функция спроса на товар имеет вид: QD = 25 – 4P. В результате изменения цены на товар эластичность снизилась с -1,75 до -0,3. Как изменилась при этом выручка продавцов?
*№ 64. Индивид покупает только три вида товаров: хлеб, колбасу и молоко. 20% своего дохода он расходует на хлеб, 50% – на колбасу и 30% – на молоко. Определить эластичность спроса на молоко по доходу, если эластичность спроса на хлеб по доходу равна - 1, а эластичность спроса на колбасу по доходу равна 2.
*№ 65. Эластичность спроса на продовольствие по доходу равна 0,8. Первоначально 50% своих доходов население расходовало на продовольствие. Предположим, доходы населения увеличились на 10%. Определить долю расходов на продовольствие в доходах населения.
36
Рыночный спрос
№ 66. Дана таблица индивидуального спроса трех потребителей на рынке:
Цена |
Объем спро- |
Объем спро- |
Объем спро- |
в |
са первого |
са второго |
са третьего |
ден. |
потребителя, |
потребителя, |
потребителя, |
ед. |
шт. |
шт. |
шт. |
за |
|
|
|
ед. |
|
|
|
10 |
2 |
0 |
0 |
9 |
5 |
1 |
0 |
8 |
8 |
5 |
0 |
7 |
12 |
10 |
5 |
6 |
16 |
14 |
12 |
5 |
21 |
18 |
14 |
4 |
27 |
22 |
12 |
3 |
35 |
25 |
11 |
2 |
45 |
27 |
14 |
1 |
60 |
29 |
10 |
а) Определить рыночный спрос.
б) Построить графически функции индивидуального спроса каждого потребителя и функцию рыночного спроса. Прокомментировать полученные графики.
№67. Функция спроса Федора на данный товар: QФD = 6 – P. Функция спроса Трифона на данный товар: QТD = 4 – 0,5P. Построить графически и аналитически функцию суммарного спроса на данный товар обоих потребителей.
№68. На рынке имеются три покупателя со следующими функциями спроса:
QD |
12 P; QD |
16 4P; QD |
13 0,5P. |
I |
I I |
I I I |
|
Определить:
1.Сколько единиц товара будет продано на рынке при Р = 16?
2.При какой цене можно будет продать 30 единиц товара?
3.Какова эластичность спроса по цене при Р = 10?
4.Какова эластичность спроса по цене при Q = 12,5?
37
№ 69. На рынке имеются три покупателя со следующими функциями спроса:
QD |
14 P; QD |
20 4P; QD |
13 0,5P. |
I |
I I |
I I I |
|
Определить:
1.Сколько единиц товара будет продано на рынке при Р = 12?
2.При какой цене можно будет продать 36 единиц товара?
3.Какова эластичность спроса по цене при Р = 4?
4.Какова эластичность спроса по цене при Q = 12?
№ 70. Спрос на товар предъявляют три группы покупателей с различной эластичностью спроса: q1 = 50 – P; q2 = 60 – 2P; q3 = 100 – 2,5P. В первой группе 50 потребителей, во второй – 100, в третьей 80. Каков объем рыночного спроса при Р = 32?
*№ 71. Результаты наблюдения за поведением потребителя представлены в таблице.
Наблюдение |
PA |
PB |
QA |
QB |
1 |
4 |
5 |
8 |
10,4 |
2 |
6 |
3 |
8 |
11 |
3 |
8 |
2 |
8 |
6,5 |
Покажите, максимизирует полезность или нет данный потребитель. Рассчитайте индексы Ласпейреса и Паше (первый период ко второму). Почему они различаются?
*№ 72. Наблюдения за покупками потребителя представлены в таблице. Является ли потребитель максимизирующим полезность? Рассчитать все типы индексов.
№ |
РA |
РВ |
QA |
Qв |
I |
покупки |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
5 |
10 |
15 |
… |
2 |
3 |
3 |
6 |
10 |
… |
3 |
6 |
3 |
3 |
20 |
… |
38
ТЕМА 2. ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ БЛАГ
Примеры задач с решениями
№ 1. Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией:
Q 50L 5L2 0,5L3 .
1.При каком количестве используемого труда достигается максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности (предельного продукта) труда; в) средней производительности (среднего продукта) труда?
2.Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда.
Решение
1а. Функция от одной переменной достигает максимума, когда ее производная равна нулю. С учетом того, что L > 0, получаем:
dQ dL |
50 |
10L |
1,5L2 |
0 L |
10 . |
1б. Предельная производительность труда |
|
||||
|
M P |
50 |
10L |
1,5L2 |
|
|
L |
|
|
|
|
достигает максимума при 10 = 3L |
L = 10/3. |
|
|||
1в. Средняя производительность труда |
|
||||
|
AP |
50 |
5L |
0,5L2 |
|
|
L |
|
|
|
|
достигает максимума при L = 5. |
|
|
|
|
|
2. По определению |
Q,L M PL APL . При L = 5 средняя и предельная |
||||
производительности равны 62,5; следовательно, |
Q,L 1. |
№ 2. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией Q = L0,75K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 144; r = 3. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.
Решение
а) APL Q/ L K L 0,25 . Условие равновесия фирмы MRTSL,K = w/r.
|
|
0,75K |
144 |
K 16L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25L |
3 |
||
|
|
|
|||
Следовательно: |
AP 16L L 0,25 |
2 . |
|
||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
б) AP |
Q/ K |
L K 0,75 → AP |
L 16L 0,75 |
0,125 ; |
||
K |
|
|
K |
|
|
|
в) M P |
dQ/ dL |
0,75 K L 0,25 |
0,75 16L L 0,25 |
1,5 ; |
||
L |
|
|
|
|
|
|
г) M P |
dQ/ dK |
0,25 L K 0,75 |
0,25 L 16L 0,75 |
0,03125 . |
||
K |
|
|
|
|
|
|
№ 3. Технология производства фирмы задана производственной функцией: Q = 20L0,5. Цена труда w = 2, а цена продукции фирмы Р = 5. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.
Решение |
|
|
|
а) В соответствии с |
технологией |
L Q2 |
400 . Поэтому TC Q2 200 и |
M C Q 100 . |
|
|
|
По условию максимизации прибыли |
|
|
|
M C |
P Q 100 QS |
100P |
100 5 500 ; |
б) TC = 5002/200 = 1250; в) AC = 1250/500 = 2,5;
г) MC = 500/100 = 5; д) L = 5002/400 = 625.
№ 4. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L0,25K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам w = 2; r = 8 и продает свою продукцию по цене Р = 320. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки продавца.
Решение
а) Условие равновесия фирмы:
|
|
MPL |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
MPK |
r |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,25K |
2 |
|
K |
0,25L . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,25L |
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
В соответствии с технологией: K |
Q4 |
. Следовательно, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25L |
Q4 |
L 2Q2; K 0,5Q2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда LTC |
8Q2; |
LM C 16Q . Из условия максимизации прибыли следует |
|||||||||||
QS P 16 |
320 16 |
20 ; |
|
|
|
|
б) LTC = 8 202 = 3200; в) LAC = 3200/20 = 160; г) LMC = 16 20 = 320; д) L = 2 400 = 800;
40
е) K = 0,5 400 = 200; ж) 20 320 – 3200 = 3200;
з) 0,5•20•320 = 3200.
№ 5. Предприятие работает по технологии, описываемой производственной функцией: Q = LαKβ, бюджетное ограничение имеет вид: C(Q) = wL + rK. Найти оптимум производителя (минимизация затрат в длительном периоде) методом Лагранжа.
Решение:
1. Функция Лагранжа имеет вид:
Ф = wL + rK + μ(Q – LαKβ), где μ – множитель Лагранжа, переменная.
2. Продифференцировать функцию Лагранжа по L, K, μ:
dФ |
w |
MP |
w |
0.5 |
L 0.5 K 0.5 |
0 |
|
||||||
|
||||||
dL |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dФ |
r |
MP |
r |
0.5 |
L0.5 K 0.5 |
0 |
|
||||||
|
||||||
dK |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dФ |
Q |
L0.5 K 0.5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Последнее уравнение представляет собой производственное ограничение.
3. Решить уравнения для L, K и μ. В результате получаем:
L r0.5 w 0.5Q
K w0.5r 0.5Q
2w0.5r0.5
C(Q) wL rK 2r0.5w0.5Q
№ 6. Фирма с функцией общих затрат
TC 8 8Q 2Q2
может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.
1.Определите выпуск фирмы: а) минимизирующий средние затраты; б) максимизирующий прибыль.
2.Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли;
б) излишка производителя.
3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.
Решение
1а. AC 8Q 8 2Q; AC 8Q2 2 0 Q 2 .