372537677
.pdf81
Решение:
а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль I = 50qI – 0,25q2I
– 0,25qIqII – 10 – 0,15q2I достигает максимума при 50 – 0,8qI – 0,25qII = 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:
qI = 62,5 – 0,3125 qII.
Прибыль фирмы II II = 50qII – 0,25q2II – 0,25qIqII – 25 – 10qII и достигает максимума при 40 – 0,25qI – 0,5qII = 0. Отсюда выводится ее уравнение ре-
акции: qII = 80 – 0,5 qI.
Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей системы уравнений:
P |
50 |
0,25 qI qI I |
|
qI |
62,5 |
0,3125qI I |
qI 44, 45; qI I 57,78; P* 24,5; |
qI I |
80 |
0,5qI |
|
В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:
I = 24,5 44,44 – 10 – 0,15 44,442 = 780,4;
II = 24,5 57,78 – 25 – 10 57,78 = 809,9;
б) пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II – последователя. Тогда прибыль фирмы I с учетом уравнения реакции фирмы II будет:
I = 50qI – 0,25q2I – 0,25qI(80 – 0,5qI) – 10 – 0,15q2I = 30qI – 0,275q2I – 10.
Она достигает максимума при 30 – 0,55qI = 0. Отсюда
qI = 54,54; qII = 80 – 0,5 54,54 = 52,7; P = 50 – 0,25(54,54 + 52,7) = 23,2;
I = 23,2 54,54 – 10 – 0,15 54,542 = 809; II = 23,2 52,7 – 25 – 527 = 529.
Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I – возросла.
Вслучае лидерства фирмы II ее прибыль
II= 50qII – 0,25q2II – 0,25qII(62,5 – 0,3125qII) – 25 – 10qII = 24,4qII – 0,17q2II – 25
становится максимальной при 24,4 – 0,34qII = 0 qII = 70,9. Тогда
qI = 62,5 – 0,3125 70,9 = 40,3;
82
P = 50 – 0,25(40,3 + 70,9) = 22,2;
I = 22,2 40,3 – 10 – 0,15 40,32 = 641;
II = 22,2 70,9 – 25 – 709 = 840;
в) прибыль картеля определяется по формуле:
к= (50 –0,25qI – 0,25qII) (qI + qII)– 10 – 0,15q2I – 25 – 10qII =
=50qI – 0,4q2I – 0,5qIqII + 40qII– 0,25q2II – 35.
Она принимает максимальное значение при
|
к |
|
50 0, 8qI |
0,5qI I |
0 |
qI |
62,5 0, 625qI I ; |
|
qI |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
40 0,5qI |
0,5qI I |
0 |
qI I |
80 qI . |
|
qI I |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив эту систему уравнений, найдем: |
|
|
|||||
qI = 33,3; qII = 46,7; Q = 80; P = 30; I |
= 823; |
II = 908. |
qI
RII
RI
qII
Рис. 4.3. Зависимость конъюнктуры рынка от типа поведения дуополистов
№ 15. В отрасли функционируют 80 мелких фирм с одинаковыми функциями затрат TCi = 2 + 8 qi2 и еще одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с функцией затрат TCл = 20 + 0,275 qл2 . Отраслевой спрос представлен функцией QD = 256 – 3P. Какая цена сложится на рынке и как он будет поделен между лидером и аутсайдерами?
Решение:
83
Поскольку для аутсайдеров цена является экзогенным параметром, то условием максимизации прибыли для них служит равенство MCi = P. Выведем из него функцию предложения отдельного аутсайдера: 16qi = P qiS = P/16. Тогда суммарная функция предложения аутсайдеров QаS = 80P/16 = 5P. Теперь определим функцию спроса на продукцию лидера как разность между отраслевым спросом и предложением аутсайдеров: QлD = QD – QаS = 256 – 3P – 5P = 256 – 8P. В соответствии с этой функцией, пре-
дельная выручка MRл = 32 – 0,25Qл. Прибыль лидера максимальна при
MRл = MCл:
32 – 0,25Qл = 0,55Qл Qл = 40; P = 32 – 0,125 40 = 27.
По такой цене аутсайдеры предложат 5 27 = 135 ед. продукции. Объем спроса составит (256 – 3 27) = 175; таким образом, 22,8% спроса удовлетворит лидер и 77,2% – аутсайдеры.
P
MCл
Sa
D
Dл
MRл
Q
Рис. 4.4. Ценообразование за лидером
№ 16. Рыночный спрос отображается функцией QD = 90 – 2P. Товар на рынке продают одна крупная фирма, выступающая в роли ценового лидера, и несколько мелких фирм, совокупное предложение которых отображается функцией QaS = –10 + 2P.
Определите цену на рынке, совокупный объем предложения аутсайдеров и излишек покупателей, если крупная фирма захочет максимизировать свою выручку?
Решение:
84
1)Функция спроса на продукцию лидера определяется как разность меж-
ду отраслевым спросом и совокупным предложением аутсайдеров:
QЛD = QD – QаS = (90 – 2P) – (-10 + 2P) = 100 – 4P. Следовательно, функ-
ция предельного дохода лидера выглядит MRЛ = 25 – qЛ/2. По условию максимизации выручки лидера 25 – qЛ/2 = 0 находим объем продаж лидера qЛ = 50. Лидер как монополист на своей доле рынка установит цену в соответствии с функцией спроса на свою продукцию: P = 25 – 50/4
= 12,5. Для аутсайдеров полученная цена внешне заданная; ориентируясь на неѐ, они предложат QaS = – 10 + 2*12,5 = 15 ед. продукции.
2)Общий объем продаж на рынке QD = 50 + 15 = 65 ед. Излишки покупателя находятся графически в соответствии с отраслевой функцией
спроса.
Ответ: P=12,5; QaS =15; Rпок=1056,25.
№ 17. На рынке с отраслевым спросом QD = 100 – 2P установилась монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с общими затратами TC = 72 + 4Q. После того как руководству картеля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.
1.Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?
2.Какой минимальной суммой прибыли придется поступиться картелю?
Решение:
1. Искомая цена должна быть такой, чтобы остаточный спрос (неудовлетворенная часть рыночного спроса) оказался ниже кривой средних затрат (PDост AC). Для этого к кривой средних затрат нужно провести касательную, параллельную линии рыночного спроса. Поскольку касательная имеет общую точку с кривой AC и в точке касания наклон обоих линий одинаковый, то искомая цена определяется из решения системы уравнений
72 Q 4 Pl i m |
0,5Q |
16 . |
72 Q2 0,5 |
Pl i m |
|
|
|
Функция остаточного спроса QD = 32 – 2P лежит ниже кривой АС.
2. Определим прибыль картеля до появления угрозы потенциального конкурента:
50 – Q = 4 Q = 46; Р = 27; = 27 46 – 72 – 4 46 = 986
85
и при лимитной цене: 16 68 – 72 – 4 68 = 744; следовательно, = 242.
P
AC MR
D
MC
Q
Рис. 4.5. Лимитная цена картеля
*№ 18. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 50 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми затратами TCi = 5 + 0,25q2i, где qi – количество выращенного картофеля i-м фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по технологии, отображаемой производственной функцией Qf = 16Q0,5, где Qf – количество расфасованного картофеля; Q = qi – количество закупленного картофеля. Определите закупочную цену картофеля при стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может продавать любое количество картофеля по фиксированной цене Pf = 20; б) спрос на фасованный карто-
фель отображается функцией QD |
420 10P . |
f |
f |
Решение:
а) Чтобы получить функцию затрат овощехранилища, нужно вывести функцию цены предложения картофеля. Функция предложения каждого
фермера qs |
2P . Следовательно, рыночное предложение QS = 100P, |
соот- |
i |
|
|
ветственно PS = Q/100. Тогда общие затраты TCxp = 0,01Q2, а прибыль |
хр = |
|
20 16Q0,5 – 0,01Q2. Она достигает максимума при Q =400. Такое количест- |
во картофеля можно закупить по цене PS = 400/100 = 4; б) определим выручку и прибыль овощехранилища:
Pf Qf = (42 – 0,1Qf)Qf = (42 – 0,1 16Q0,5) 16Q0,5.
хр = (42 – 0,1 16Q0,5) 16Q0,5 – 0,01Q2.
Прибыль достигает максимума при Q = 140. Цена предложения такого количества PS = 140/100 = 1,4.
P
86
P MP |
MCмонопс. |
|
MR MP
S
Q
Рис. 4.6. Цена монопсонии
*№ 19. В городе имеется единственный молокозавод, закупающий молоко у двух групп фермеров, различающихся затратами на литр молока стандартной жирности: TC1 2q1 0,25q12 и TC2 0,5q22 , где qi – количество молока, произведенного одним фермером i-й группы. В первой группе 30 фермеров, во второй – 20. Молокозавод обрабатывает молоко по технологии, отображаемой производственной функцией Qu = 8Q0,5, где Qu – количество пакетов молока; Q = qi – количество закупленного молока, и может продавать любое количество молока по фиксированной цене Pu = 10. При закупке сырья молокозавод может проводить ценовую дискриминацию.
1.По какой цене молокозавод должен закупать молоко у каждой группы фермеров для максимизации своей прибыли?
2.Какую цену установил бы молокозавод, если бы нельзя было проводить ценовую дискриминацию?
Решение:
1. Выведем функции предложения каждой группы фермеров; эти функции для молокозавода являются функциями средних затрат при закупке молока у соответствующей группы фермеров:
|
|
! |
|
|
qS |
|
|
|
QS |
30qS |
|
|
|
|||
M C |
2 |
0,5q = P |
|
4 |
2P |
|
120 60P |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
PS |
2 |
|
Q1 |
АC |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
60 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
! |
|
|
|
S |
|
|
S |
|
S |
|
|
S |
Q2 |
|
|
M C q = P q |
|
P Q 20q |
|
20P P |
|
|
АC |
. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
20 |
m2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прибыль завода есть разность между выручкой и общими затратами:
|
|
|
|
0,5 |
|
Q2 |
|
Q2 |
|
|
10 |
8 Q |
Q |
|
2Q |
1 |
|
2 |
. |
m |
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
20 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
60 |
|
Она достигает максимума при:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
d m |
40 |
|
|
2 |
|
Q1 |
0 |
||||
dQ1 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|||
|
|
Q1 |
Q2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Q1 60; Q2 40. |
||||
d m |
|
40 |
|
|
|
Q2 |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|||||||
dQ2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
||||
|
|
Q1 |
Q2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
У первой группы фермеров такое количество молока можно купить по це-
не 2 + 60/60 = 3, а у второй – по 40/20 = 2 ден. ед.
P
P MP
MC2 MC1
AC2 MC
AC1
Q
Рис. 4.7. Ценовая дискриминация монопсонии
2. В этом случае функция предложения молока имеет вид:
QS |
20P |
0 P |
2 |
|
|
|
|
m |
120 |
80P |
P 2 |
|
Соответственно функция цены предложения (функция средних затрат за-
вода): PS 1,5 Q 80 AC |
. Прибыль завода: |
|
|
|
|||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 8Q0,5 1,5Q |
|
Q2 |
. |
||
|
m |
80 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Она достигает максимума при |
|
|
|
|
|
|
|||
|
40 |
|
1,5 |
Q |
Q |
100 . |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
40 |
|||||
|
|
Q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Такое количество молока можно купить за 1,5 + 100/80 = 2,75 ден. ед. По такой цене первая группа фермеров предложит 55, а вторая – 45 литров.
88
P
P MP
AC2
AC1
MC
AC
Q
Рис. 4.8. Единая цена монопсонии на двух сегментах рынка
№ 20. Известны функция спроса на продукцию монополистического конкурента QA = 30 – 5PA + 2 PB и функция затрат TCA = 24 +3QA. Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в длительном периоде.
Решение:
Поскольку рынок монополистической конкуренции в длительном периоде, то равновесие фирмы будет характеризоваться равенствами: ACA = PA, MCA = MRA. Тогда:
3 |
24 / QA |
6 0, 4PB 0, 2QA ; |
3 |
6 0, 4PB |
0, 4QA |
Решив систему уравнений, получаем: QA = 10,95; ACA = 5,19; PA = 5,19;
PB = 3,45.
*№ 21. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Р = 24 – 1,5Q. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0,3Q2. Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.
Решение
Если бы ценовой дискриминации 2-й степени не существовало бы, то условие максимизации прибыли имело вид: 24 – 3Q = 0,6Q. Тогда Q* = 20/3; P*= 14; π = 30.
89
При ценовой дискриминации нужно помнить, что условие максимизации прибыли приобретает вид: MR1 = P2, MR2 = P3, …, MRn = MC. Первые 3 ед. можно продавать по цене P1 = 24 – 1,5×3 = 19,5. Так как MR1 = 24 – 3Q1, то при Q = 3 значение MR1 = 15. Следовательно, вторую партию, еще 3 ед., можно продать по цене P2 = 15.
Для определения MR2 необходимо учитывать сокращение спроса – укорочение линии функции спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 3); MR2 = 28,5 – 3Q, при Q = 6 величина MR2 = 10,5. Это означает, что третью партию нужно продавать по цене 10,5.
Найдем функцию MR3. Для этого необходимо определить новую функцию спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 6); MR2 = 33 – 3Q. При Q = 9 величина MR3 = 6. Но 4-ю партию нужно продавать не по цене 6. Это связано с тем, что точка Курно (пересечение функций MC и MR4) расположена выше. Определим координаты точки Курно из равенства: 37,5 – 3Q = 0,6Q. Отсюда Q = 10,4. Этому выпуску соответствует цена 24 – 1,5×10,4 = 8,4. Следовательно, размер 4-й партии 1,4 ед., а цена P2 = 8,4. Прибыль фирмы составит:
π = 3×(19,5 + 15 + 10,5) + 8,4 × 1,4 – 50 – 0,3×10,42 = 64,3.
*№ 22. На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж, ценах и предельных затратах приведены в таблице.
Фирма |
Объем |
Предельные |
|
продаж, |
затраты, тыс. |
|
тыс. шт. |
долл. |
|
|
|
А |
250 |
1,0 |
Б |
100 |
1,5 |
В |
90 |
2,0 |
Г |
40 |
2,5 |
Д |
30 |
3,0 |
Цена товара 8 тыс. долл. Определить коэффициент бета и эластичность спроса по цене.
Решение:
При решении задачи следует учесть, что индекс Лернера для фирмы (Li), который вычисляется как Li = (P – MC)/P, в соответствии с моделью связан линейной зависимостью с рыночной долей yi: Li = a +byi.
90
Дополнительные расчеты сведем в таблицу.
Фирма |
Q |
MC |
yi |
yi2 |
Li |
Li×yi |
|
|
|
|
|
|
|
А |
250 |
1,0 |
0,490 |
0,24 |
0,875 |
0,429 |
Б |
100 |
1,5 |
0,196 |
0,04 |
0,812 |
0,159 |
В |
90 |
2,0 |
0,176 |
0,03 |
0,75 |
0,132 |
Г |
40 |
2,5 |
0,078 |
0,006 |
0,688 |
0,054 |
Д |
30 |
3,0 |
0,058 |
0,003 |
0,625 |
0,036 |
Cумма |
510 |
X |
0,998 |
0,319 |
3,75 |
0,81 |
Для нахождения линейной зависимости между индексом Лернера и долей рынка в соответствии с методом наименьших квадратов необходимо составить систему из двух уравнений:
Li |
|
an b |
yi |
|
L y |
a |
y b |
y2 |
|
i |
i |
|
i |
i |
В условиях примера система уравнений примет вид:
3, 75 5a 0, 998b
0,81 0, 998a 0, 319b
Решив систему, находим, что a = 0,65; b = 0,5. Следовательно, β = 0,65/(0,65 + 0,5) = 0,56.
Эластичность спроса по рынку определяется по формуле: e = HH/Lср, где HH – индекс Герфиндаля–Хиршмана, а Lср – средний индекс Лернера для отрасли. e = 0,319/(3,75:5) = 0,425.
*№ 23. Длина города равна 35 км. Магазин первого дуополиста расположен в точке А на расстоянии 4 км от левого конца города (точка М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 1 км от правого конца города. Стоимость перевозки равна 1 ден. ед. на км. Дуополисты максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает потребитель, затраты которого на покупку единицы товара (включающие транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов.
Решение:
Найдем расположение точки Е, в которой находится потребитель и где затраты на покупку единицы товара, включая транспортные расходы, одинаковы для обоих магазинов. Если через x и y обозначить расстояния от безразличного покупателя до первого и второго магазина соответствен-