2. Формы представления чисел в цвм Общий вид представления чисел.

В памяти ЦВМ числовая информация может быть представлена в различных формах.

В случае с фиксированной запятойдля всех чисел, над которыми выполняются операции, положение запятой строго зафиксировано между целой и дробной частями числа.

Обычно в ЦВМ используются два способа расположения запятой:

• перед старшим разрядом, то есть целая часть числа равна нулю, и в операциях участвуют правильные дроби;

• после младшего разряда, то есть дробная часть числа равна нулю, и в операциях участвуют только целые числа.

Разрядная сетка с указанием номера разряда и его веса для дробного числа имеет вид:

	2^-1		2^-3		2^-(n-1)	2^-n
	1	0	3	...	n-1	n
	Знак

Разрядная сетка для целого числа имеет вид:

2^n-1	2^n-2				2^1	2^0
n	n-1	…	…	…	1	0
знак	цифровая часть числа

Если целые числа представляются без знака, то диапазон их представления в заданной разрядной сетке может быть увеличен за счет использования разряда, отводимого под знак числа.

Число с фиксированной запятой представляется следующим образом:

[Х]_ф.з.=Х*К_м,

где

[Х]_ф.з.— машинное представление числа с фиксированной запятой;

Х— исходное число,

К_м— масштабный коэффициент, который выбирается из условий конкретной разрядной сетки и не должен допускать выхода исходных чисел и результатов вычислений за пределы допустимого диапазона.

Масштабный коэффициент должен быть единым для всех обрабатываемых в машине чисел и получаемых результатов, он хранится отдельно от представляемых чисел и учитывается при выдаче конечного результата.

Число в форме с фиксированной запятой должно удовлетворять следующему неравенству:

[X]_ф.з._min  [X]_ф.з.  [X]_ф.з.max

Если нарушена левая часть неравенства, то имеем машинный ноль; если нарушена правая часть неравенства, то произошло переполнение разрядной сетки.

Представление чисел в форме с плавающей запятойпозволяет избежать масштабирования исходных чисел, а также увеличить диапазон и точность представляемых чисел.

Число в нормальной форме имеет вид:

Х = m*q ^p, (15)

где

q— основание СС;

p— целое число — порядок числаХ;

m— мантисса числа.

Чтобы нормализовать мантиссу, ее нужно сдвигать вправо для целого числа и влево для дроби на столько разрядов, чтобы целая часть мантиссы была равна нулю, а старший разряд мантиссы был равен 1, после чего к порядку целого числа прибавить (а из порядка дроби вычесть) столько единиц, на сколько разрядов был произведен сдвиг.

Полулогарифмической эта форма представления называется потому, что в логарифмической форме представлено не всё число, а только его характеристика q.

Поскольку, изменяя одновременно определённым образом мантиссу и порядок числа Х, можно по выражению (15) получить любое количество представлений числаХ, то на мантиссуmнакладывается следующее ограничение, чтобы избежать неоднозначности в представлении чисел

q^-1  |m|  1. (16)

Если для числа Хв форме с плавающей запятой выполнены условия (16), то числоХназывается нормализованным, мантисса представляется правильной дробью, а ее старший разряд с основаниемqотличен от 0.

Для двоичной СС неравенство (16) имеет вид:

0.100...0  |m|  0.11...1. (16')

Разрядная сетка для числа с плавающей запятой состоит из двух частей: для порядка и для мантиссы.

порядок				мантисса
	m-1	m-2	0	0	1	2	n
Знак порядка	2 ^m-1	2 ^m-2	2^-0	Знак мантиссы	2^-1	2^-2	2^-n

Мантисса, удовлетворяющая условию (16') называется нормализованной, а операция преобразования ее к виду (16') называется нормализацией.

Для упрощения операций над порядками чисел с плавающей запятой, порядки представляют целыми положительными числами без знака, используются так называемые смещенные порядки. Чтобы получить смещенный порядок, нужно к исходному порядку pприбавить целое число - смещениеМ= 2 ^k, гдеk — число двоичных разрядов, используемых для модуля порядка.

Смещенный порядок

Р_см = Р+М

всегда является положительным. Для его представления необходимо такое же число разрядов, как и для модуля и знака порядка р.