Тема 6. Динамические ряды

Ряд динамики - это ряд числовых значений определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени. Числовые значения, составляющие динамический ряд, называются уровнями ряда. Уровни ряда могут быть выражены абсолютными, относительными или средними величинами. Основное требование, предъявляемое к уровням динамического ряда - это их сопоставимость.

В статистике используются два типа рядов динамики для описания изменений различных величин.

Для величин типа потока (доходы, выпуск продукции, затраты и т.п.) уровни ряда соответствуют определенным интервалам времени (доход в 1995 году, выпуск продукции в марте и т.д.). Такие ряды называются интервальными.

Для величин типа запаса (запас сырья, численность работников, кассовая наличность и т.п.) уровни ряда представлены на определенные моменты времени (конец квартала, начало года и т.д.). Такие ряды называются моментными.

Изучение динамических предполагает определение среднего уровня ряда динамики, определение показателей динамики и их усреднение, анализ закономерностей изменения уровней ряда.

Метод определения среднего уровня зависит от типа динамического ряда.

Средний уровень интервального ряда определяется как простое среднее арифметическое:

где x_t - значение уровня ряда динамики;

n - число уровней ряда динамики;

t - номер уровня ряда динамики, t = 1,2,...,n.

Моментные ряды отличаются от интервальных принципиальной неполнотой. Пусть уровни x₁, x₂,..., x_n соответствуют моментам наблюдения t₁, t₂,..., t_n. Исследуемая величина изменяется в период между наблюдениями, но эти изменения не отражены рядом динамики. Поэтому средний уровень моментного ряда может быть лишь приближенно оценен. Для этой цели используется специальное среднее - среднее хронологическое:

а) для ряда с равноотстоящими моментами наблюдения:

б) для ряда с разноотстоящими моментами наблюдения:

где T_j - интервал между соседними уровнями ряда,

T_j= t_j+1 - t_j ; j=1,2,...,n.

Показатели динамики - это величины, характеризующие изменение уровней динамического ряда. К ним относятся: абсолютный прирост, коэффициент (темп) роста и коэффициент (темп) прироста.

В зависимости от базы сравнения различают базисные и цепные показатели динамики. Базисные показатели динамики - это результат сравнения текущих уровней с одним фиксированным уровнем, принятым за базу, они характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда за период от базисного до текущего уровня. Обычно за базу сравнения принимают начальный уровень динамического ряда.

Цепные показатели динамики - это результат сравнения текущих уровней с предшествующими, они характеризуют интенсивность изменения от срока к сроку.

Методы расчета показателей динамики в зависимости от базы сравнения представлены ниже:

Показатели динамики
базисные	цепные
Абсолютный прирост
Коэффициент роста
Темп роста
Коэффициент прироста
Темп прироста

Где { x_t } - уровни динамического ряда;

x₀ - базисный уровень.

Абсолютный прирост характеризует на сколько единиц уровень текущего периода больше или меньше уровня базисного или предыдущего периода. Он измеряется в тех же единицах, что и уровни ряда.

Коэффициент роста показывает во сколько раз уровень текущего периода больше или меньше базисного или предыдущего. Этот показатель, выраженный в процентах, называют темпом роста.

Темп прироста показывает на сколько процентов текущий уровень больше или меньше базисного или предыдущего.

Определяя цепные показатели динамики, получают ряд варьирующих, отчасти независимых величин, для которых можно определить средние характеристики. Предварительно необходимо рассмотреть взаимосвязь базисных и цепных показателей динамики, используя уже принятые обозначения:

Средний абсолютный прирост определяется как среднее арифметическое из абсолютных приростов за отдельные периоды времени динамического ряда:

пусть даны абсолютные приросты: a₁, a₂,..., a_n;

тогда

Отсюда ,

где n - число приростов.

Средний коэффициент роста определяется как среднее геометрическое из коэффициентов роста за отдельные периоды времени динамического ряда:

пусть даны коэффициенты роста: i₁, i₂,..., i_n .

Тогда I_n = i₁^.i₂^.... ^.i_n .

Отсюда

Среднегодовой темп прироста определяют исходя из среднего темпа роста:

Для выявления закономерностей (тенденций) динамического ряда используют две группы методов их выравнивания: эмпирические и аналитические.

Одним из эмпирических методов является метод скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.

Например, если дан ряд ежегодных уровней: x₁, x₂,..., x₉, - то трехлетняя скользящая средняя определяется следующим образом:

для первого интервала ;

для второго интервала ;

для третьего интервала и т.д.

В результате сглаживания получается ряд динамики, количество уровней которого на два меньше, чем у исходного (теряются два крайних значения).

При аналитическом выравнивании статистические приемы сводятся к тому, что нужно подобрать математическую функцию определенного класса, значения которой наиболее близки к уровням выравниваемого ряда. Для этого используется метод наименьших квадратов.

Особенность рядов динамики состоит в том, что в качестве независимой переменной здесь всегда выступает фактор времени (t).

Выравнивание ряда сводится к определению параметров функции:

параметры которой определяются при решении системы нормальных уравнений.

При выравнивании ряда с помощью линейной функции

система нормальных уравнений имеет вид:

где x_t - значение уровней фактического ряда динамики;

t - временные даты или номер соответствующего уровня ряда динамики;

n - количество уровней ряда динамики.

В динамических рядах значение t почти всегда образует арифметическую последовательность, поэтому, чтобы упростить расчеты, удобно в качестве начала отсчета времени брать середину ряда. Тогда сумма нечетных степеней t будет равна нулю.

Если дан ряд динамики, содержащий нечетное количество уровней (например, 5), то его целесообразно представить в виде:

t = -2, -1, 0, 1, 2;

x = x_-2, x_-1, x₀, x₁, x₂.

Если дан ряд динамики, содержащий четное количество уровней (например, 6), то -

t = -5, -3, -1, 1, 3, 5;

x = x_-5, x_-3,x_-1, x₁, x₃, x₅.

Так как при этом , система нормальных уравнений упрощается:

Отсюда

;

Полученный параметр b можно интерпретировать следующим образом: если b>0, то уровни сглаженного ряда равномерно возрастают (на b единиц за каждую единицу времени); если b<0, то уровни равномерно снижаются. Таким образом, выравнивание по прямой применяется тогда, когда анализируемое явление проявляет тенденцию к равномерному развитию во времени. Этому типу развития свойственны стабильные или беспорядочно изменяющиеся абсолютные приросты.

Ряд динамики с постоянными темпами роста отображается экспонентой:

x = a b^t.

Эту зависимость можно свести к линейной, прологарифмировав ее:

log x_t = log a + t^. log b (основание логарифмов не имеет значения).

Воспользовавшись уже известной системой нормальных уравнений, определяем:

Параметр b представляет собой темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития.

При аналитическом выравнивании, конечно, могут применяться и другие функции. Выбор функции основывается на анализе показателей динамики и графического изображения ряда динамики.

Задание N  6

По данным таблицы № 6 выбрать динамический ряд, соответствующий Вашему варианту, для которого:

1. Рассчитать:

а) среднегодовой уровень ряда динамики;

б) цепные и базисные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста;

в) средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

2. Произвести сглаживание ряда динамики трехлетней скользящей средней.

3. Произвести аналитическое выравнивание ряда динамики.

4. Изобразить фактический и выровненный ряды графически.

5. Сделать выводы.

Таблица 6

ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РАЗВИТИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФИРМЫ ЗА ПЕРИОД С 1985 ПО 1995 ГОДА (ПО СОПОСТАВИМОЙ ОЦЕНКЕ)

Год	Объем произ-водства продук-ции, млн. руб	Средне-годовая стоимость ОПФ, млн. руб	Средне-годовая численность ППП, чел.	Число наименований продукции, производимой фирмой, шт.	Средне-годовая стои-мость оборотных средств млн. руб	Балан-совая при-быль млн. руб	Чистая прибыль млн. руб	Объем реали-зации млн. руб	ФЗП млн. руб	Фонд потреб-ления млн. руб
Вари-ант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995	800 864 930 1006 1085 1174 1267 1361 1475 1589 1712	900 940 981 1020 1060 1102 1141 1180 1222 1261 1300	470 488 505 523 540 559 577 594 610 628 646	10 12 14 17 21 25 30 36 43 52 63	700 784 870 966 1082 1212 1369 1506 1687 1856 2060	650 665 681 696 712 727 742 756 770 786 800	200 212 224 239 254 268 284 300 319 342 362	500 550 602 664 729 816 896 986 1084 1188 1300	300 349 399 450 501 551 600 648 697 748 800	880 824 770 712 656 599 543 489 429 377 321

Приложение 1

Данные по кредитным институтам по пяти признакам.

№ п/п	Признак
	Уставный капитал, млн. руб.	Число филиалов, шт.	Краткосрочные обязательства , млн. руб.	Оборотные активы, млн. руб.	Число работников, чел.
	1	2	3	4	5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	980 897 790 995 921 907 795 963 940 949 901 970 898 967 836 797 911 902 844 998 969 750 929 934 794 780 884 937 981 867 916 976 999 855 999 967 859 980 998 897	5 2 1 3 3 3 1 2 4 1 3 3 4 3 1 1 2 2 1 3 4 1 3 3 1 1 2 3 4 1 3 3 5 2 4 4 2 4 3 1	1375 1104 861 1202 1269 1029 832 870 1106 908 1053 838 1308 933 812 806 852 911 814 1271 1015 760 1006 1089 1046 850 994 970 1034 818 946 1120 1111 1061 884 1084 1071 1255 1038 806	3042 2875 2639 2985 2850 2663 2471 2828 2879 2749 2850 2598 2810 2768 2209 2611 2705 2718 2508 2871 2788 1900 2807 2857 1582 1337 2764 2847 2791 2269 2706 2890 3389 2718 2690 3048 2805 3177 2924 2510	195 159 134 202 190 174 139 159 167 160 160 163 171 168 93 103 140 138 115 215 176 88 163 171 147 139 142 153 170 129 116 183 183 153 183 164 156 190 177 138

1Часть заданий взяты из работы [8].