1. Контрольные вопросы

1. Какие случайные процессы называются стационарными?

2. Перечислите основные статистические характеристики стационарных случайных процессов. Как они связаны между собой?

3. Что называют формирующим фильтром?

4. Поясните процедуру факторизации.

5. Поясните, как по передаточной функции фильтра может быть получено его описание в пространстве состояний.

6. Как следует задавать начальное состояние формирующего фильтра при моделировании стационарных процессов?

7. Опишите процедуру получения эквивалентной дискретной модели фильтра по имеющейся непрерывной модели.

8. Как следует выбирать период дискретности при компьютерном моделировании стационарных случайных процессов?

9. Поясните, почему моделируемые в работе случайные процессы можно называть марковскими. В каком смысле их можно назвать марковскими процессами первого порядка?

10. Поясните, как по имеющейся реализации построить график выборочной корреляционной функции.

4. Оптимальная фильтрация случайных процессов

Цель работы: изучение алгоритма фильтра Калмана.

1. Основные теоретические сведения

При решении задач обработки навигационной информации широкое распространение получили алгоритмы оптимального оценивания. Актуальность таких задач обусловлена необходимостью получения в реальном времени высокоточных оценок навигационных и динамических параметров как при комплексировании информации, поступающей от различных приборов и систем, так и при создании математического обеспечения самих этих систем.

При построении математической модели зашумленного векторного процесса y(t), как правило, исходят из его описания в пространстве состояний в виде

(22)

где v(t) – вектор ошибок измерений, описываемый многомерным белым шумом, не коррелированным с шумом (t), с матрицей интенсивности R. Смысл остальных векторов и матриц в модели (22) соответствует приведенным ранее комментариям к модели вида (13). В общем случае система (22) не является стационарной, т.е. матрицы F, G, H и матрицы интенсивностей белых шумов Q, R могут изменяться во времени.

Алгоритм вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок векторного случайного процесса x(t) представляет собой алгоритм фильтра Калмана-Бьюси [4], уравнения которого могут быть записаны в виде

где x₀ – априорное математическое ожидание, а P₀ – априорная матрица ковариаций вектора x; P_(0) – матрица ковариаций вектора ошибок  = x – xˆ; K(t) – матричный коэффициент усиления фильтра.

Несмотря на то, что задачи оценивания носят непрерывный характер, их решение, как правило, осуществляется с использованием средств вычислительной техники путем перехода к дискретному времени. Таким образом, фактически на практике реализуются алгоритмы, соответствующие оцениванию дискретных последовательностей.

Рекуррентные алгоритмы вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок случайных последовательностей представляют собой алгоритмы дискретного фильтра Калмана [2,5]. При их построении предполагается, что оценка на текущем шаге xˆ_k вычисляется с использованием текущего измерения y_k, оценки xˆ_k–1 и соответствующей ей матрицы ковариаций ошибок P_k–1 для предыдущего шага. Для описания модели измерений и динамики изменения вектора состояния x_k используется система уравнений

(23)

где w_k – вектор порождающих дискретных белых шумов с матрицей ковариаций Q_k; v_k – вектор белых шумов измерений, не коррелированный с вектором w_k, с матрицей ковариаций R_k; _k – матрица перехода из k–1-го состояния в k-е; _k – матрица возмущений; H_k – матрица измерений. В том случае, когда требуется получить модель (23), эквивалентную непрерывной модели (22), матрицы _k, _k могут быть найдены по формулам (26), (28), матрица H_k формируется путем простой дискретизации матрицы H, а матрицы ковариаций дискретных белых шумов рассчитываются как характеристики соответствующих им непрерывных шумов, усредненных на периоде дискретности t: Q_k = Q/t; R_k = R/t.

Дискретный оптимальный фильтр Калмана, минимизирующий средние квадраты составляющих вектора ошибок _k = x_k – xˆ_k, описывается уравнениями

где x_k – экстраполированная оценка состояния, S_k – матрица ковариаций ошибок экстраполяции; K_k – матричный коэффициент усиления дискретного фильтра Калмана.

Начальными условиями для алгоритма дискретной калмановской фильтрации, как и в непрерывном случае, являются начальная оценка xˆ₀, равная априорному математическому ожиданию вектора состояния, и начальная матрица ковариаций вектора ошибок P₀, равная априорной матрице ковариаций вектора состояния.