Обозначение функций

 Пусть  y - некоторая функция переменной  x; причём, неважно, каким образом эта функция задана: формулой, таблицей или как-то иначе. Важен только сам факт существования этой функциональной зависимости, что записывается следующим образом:  y = f ( x ). Буква  f  ( начальная буква латинского слова “functio”- функция ) не обозначает какой-либо величины, так же как буквы log, sin, tan  в записях функций  y = log x,  y = sin x,  y = tan x. Они говорят лишь об определённых функциональных зависимостях   y  от  x. Запись  y = f ( x ) представляет любую функциональную зависимость. Если две функциональные зависимости:  y  от  x  и  z  от  t отличаются одна от другой, то они записываются с помощью различных букв:  y = f ( x )  и   z = F ( t ). Если же некоторые зависимости одни и те же, то они записываются одной и той же буквой  f :   y = f ( x )  и   z = f ( t ). Если выражение для функциональной зависимости  y = f ( x ) известно, то она может быть записана с использованием обоих обозначений функции. Например,  y = sin x или  f ( x ) = sin x. Обе формы полностью равносильны. Иногда используется и другая форма записи:   y ( x ). Это означает то же самое, что и  y = f ( x ).

Графическое представление функций. 

Чтобы представить функцию  y = f ( x )  в виде графика, нужно: 

1)  Записать ряд значений функции и её аргумента в таблицу: 

 

2)  Перенести координаты точек функции из таблицы в систему координат,

     отметив в соответствии с выбранным масштабом значения абсцисс на

     оси Х и значения ординат на оси Y ( рис.2 ). В результате в нашей системе    

     координат будет построен ряд точек  A, B, C, . . . , F. 

3)  Соединяя точки A, B, C, . . . , F плавной кривой, получаем график заданной 

     функциональной зависимости. 

Такое графическое представление функции даёт наглядное представление о характере её поведения, но достигаемая  при этом точность недостаточна. Возможно, что промежуточные точки, не построенные на графике, лежат далеко от проведенной плавной кривой. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек, координаты которых M ( x, y ) связаны заданной функциональной зависимостью.

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента  x, при которых функция  y = f ( x ) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений  y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами  X  и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.