Физика 1 семестр - Механика

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

11

y	y’
K	K’	υ	A

r

r '

	R = υt	x, x’
z	z’
	Рис. 9. Неподвижная и подвижная системы отсчёта
	Как видно из рисунка 9, r = r '+ R = r '+υt ;	r '= r −υt . (24)

Перепишем (24) в координатной форме и получим преобразования Галилея для координат:

x′ = x −υ t;

y′ = y;

z′ = z.

(25)

Продифференцируем преобразования для координат (25) по времени и получим преобразования Галилея для скоростей:

′	= ux −υ;	′	= uy ;	′	= uz .	(26)
ux		uy		uz

Продифференцируем преобразования для скоростей (26) по времени и получим преобразования Галилея для ускорений:

′	= ax ;	′	= ay ;	′	= az .	(27)
ax		ay		az

Получается, что ускорения не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Такие величины называются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея или просто инвариантами. Кроме ускорений инвариантами преобразований Галилея являются: действующие силы, длина отрезка, масса тела, длительность промежутков времени и др.

Координаты и скорости зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Такие величины называются неинвариантными по отношению к преобразованиям Галилея. Следовательно, неинвариантными являются также величины: импульс, кинетическая и полная энергия и некоторые другие.

= ∑ Fi внеш.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

12

Закон сохранения импульса.

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость

p = mυ.

(28)

Импульс – векторная величина, имеющая направление. Продифференцируем это выражение по времени

	d p		dmυ		dυ
		=		= m		= ma = ∑ Fi ,	(29)
	d t		dt		d t
И получим другую запись второго закона Ньютона.
			d p = ∑ Fi × dt				(30)
В этом выражении слева стоит изменение импульса тела, справа –							импульс
силы. Импульс силы равен изменению импульса тела.

Вывод: импульс тела меняется только в том случае, когда на тело действуют силы.

Пусть имеются два взаимодействующих тела; других сил, кроме сил взаимодействия нет. Импульс системы двух тел есть сумма импульсов тел:

p = p	+ p	.	(31)
1	2

Продифференцируем это выражение по времени и получим сумму сил, действующих на первое и второе тела.

d p		d p		d p
	=	1	+	2	= F	+ F	= 0,		p = const.	(32)
dt		dt		dt	1	2

Сумма двух сил равна нулю по третьему закону Ньютона (18). Получается, что импульс двух взаимодействующих тел сохраняется.

Точно также сохраняется импульс системы, состоящей из любого количества взаимодействующих тел, поскольку взаимодействия разбиваются на парные взаимодействия тел. Изменить импульс системы могут лишь внешние силы, действующие на тела.

d p

(33)

dt

Если система замкнута и в ней нет внешних сил или все внешние силы компенсируют друг друга, то импульс такой системы сохраняется.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

13

Момент импульса, момент силы уравнение моментов.

Моментом импульса материальной точки относительно начала координат называют произведение радиуса– вектора на импульс тела (векторное произведение).

L

L = [r p]

(34)

L = r p × sinα

Оα

r

p

Рис. 10. Момент импульса

Примеры: моменты импульса материальной точки массой m, двигающейся с постоянной скоростью по окружности и вдоль прямой.

		О
О
	υ	b
R		r
	m	υ
		m
L = mυR		L = mυb

Рис.11. Момент импульса материальной точки в двух случаях

Моментом силы относительно начала координат называют произведение радиуса-вектора на вектор силы (векторное произведение).

Величина момента силы равна произведению силы на плечо. Плечо силы – это кратчайшее расстояние от точки О до линии приложения силы.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

14

M

M = r F
			(35)

M = Fd ,

где d – плечо силы.

Оα

r	F
d

Рис.12. Момент силы.

Парой сил называются две силы одинаковые по величине и противополож-

ные по направлению F1 = −F2 . Эти силы не обязаны лежать на одной прямой.

Моментом пары сил называется сумма двух моментов этих сил.

F1

r1	r12
r2	F2

0

Рис.13. Момент пары сил

M = M

1

+ M

2

=

r F

+

r F

=

r F

+ (r

+ r

) F

=

1 1

2 2

1 1

1

12

2

(36)

= r1F1

+ r1F2

+ r12 F2

= r1

(F1 + F2 ) + r12 F2

= r12 F2

Следствия:

1.Момент пары сил не зависит от выбора начала отсчета (точки О)

2.Если F1 и F2 – силы взаимодействия, которые лежат на одной прямой

друг с другом и с вектором r12 , то момент пары таких сил равен нулю.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

15

Продифференцируем выражение (34) по времени по правилу дифференцирования произведения:

dL = d [r p] dt dt

учитывая, что υ p, [υ p]

ем уравнение моментов:

d r

d p

]

=

p

+

r

= υ p

+ r

F .

dt

[

∑ i

dt

= ∑

= 0, а второе слагаемое r

∑ Fi

dL =

dt

∑ M i .

(37)

Mi получа-

(38)

Производная от момента импульса тела по времени есть сумма моментов всех сил приложенных к телу.

Закон сохранения момента импульса.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. Момент импульса такой системы складывается из моментов импульса всех её элементов:

				N
L = L1	+ L2	+ L3	+ ... + LN	= ∑ Li .	(39)

i=1

Возьмем производную по времени от этого выражения:

	d L		N		N	d Li
		=	∑ Li		= ∑
	dt					dt
			i=1		i=1

N
= ∑Mi .	(40)

i=1

Последняя сумма в формуле (40) состоит из моментов сил взаимодействия и моментов внешних сил. Силы взаимодействия разбиваются на пары, как раз подпадающие под второе следствие из формулы (36). Таким образом, сумма моментов всех сил взаимодействия равна нулю. Остается только сумма моментов внешних сил:

	d L		N
		=	∑ Miвнеш.		(41)
	dt		i=1

Если система замкнута и в ней отсутствуют внешние силы или они скомпенсированы, то момент импульса такой системы сохраняется.

Момент импульса замкнутой системы тел сохраняется.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

16

Работа, мощность и кинетическая энергия.

Механической работой постоянной силы F называется скалярное

произведение этой силы на перемещение							S :
				F				A = (F S ) = FS × cosα	(42)
					α	S

Рис. 14. Работа постоянной силы

Если сила во время движения меняется, то траекторию следует разбить на очень малые – элементарные промежутки d r , в пределах каждого

из которых силу можно будет считать постоянной. Элементарная работа си-

лы на таком промежутке вычисляется как:

dA = (Fd r ) = Fdr ×cosα

(43)

1

Работа силы на пути из точки 1

в точку 2 есть сумма элементарных

F

работ совершенных вдоль всей тра-

α

2

ектории. Если все участки становятся

d r

бесконечно малыми, то такая сумма

становится контурным интегралом.

Рис. 15. Работа переменной силы

A12 =

(2)

(44)

на криволинейной траектории

∫ (Fd r )

(

)

1

Нижний и верхний пределы (1)

и (2) символически обозначают начальную

и конечную точки, интегрирование ведется вдоль всей траектории.

Вернемся к элементарной работе на участке траектории

d r

и рас-

смотрим работу равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

dυ

dυ d r

dA =

(Fd r )

=

m (ad r ) = m

d r

=

m

=

dt

dt

(45)

d r

1

mυ 2

= m dυ

=

m (dυ ×υ )

= mυdυ

=

mdυ 2

=

d

= dEk

2

2

dt

В выкладках (45) фактически дано определение кинетической энергии:

E =

mυ 2

.

(46)

k

2

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

17

Там же получена связь работы всех сил с изменением кинетической энергии:

Aвсех = E	k 2	- E	k1	.	(47)
12

В заключение отметим, что кинетическая энергия – это энергия движения. Она зависит только от скорости тела и не зависит от его положения и от сил, действующих на тело.

Потенциальные силы и потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.

Потенциальная энергия – существенно более сложное понятие, чем кинетическая. Для нее нет единой формулы, для каждой силы потенциальная энергия записывается по своему, для некоторых сил такого понятия вообще нет. Итак, всё по порядку. Сначала все силы разобьем на два класса: потенциальных и непотенциальных.

Потенциальными называются такие силы, работа которых не зависит от траектории, а зависит лишь от начального и конечного положения тела. Сказанное обозначает, что работа потенциальной силы на замкнутой траектории равна нулю.

	1	3	Силы потенциальны:
			A132 = A142 .
			Найдем работу по замкнутой
		2	траектории:
			A13241 = A132	+ A241 =
	4		= A132 - A142	= 0
	Рис. 16. Работа потенциальных сил		Получается, что	A13241 = 0

Потенциальные силы зависят лишь от положения тела, но не зависят от «истории» и от скорости тела. Потенциальными всегда являются:

1.Однородные силы, т.е. силы постоянные в рассматриваемой области:

F (r ) = const.

(48)

2.Центральные силы, т.е. зависящие только от расстояния до силового центра и всегда направленные на него или от него:

		r
F	(r ) = F (r) ×		.	(49)

r

3.Любая комбинация однородных и центральных сил.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

18

Непотенциальными всегда являются:

1.Сила трения или сила сопротивления.

2.Сила тяги.

3.Любая сила, зависящая от скорости.

Все непотенциальные силы обязательно являются внешними, поскольку внутренние силы – силы взаимодействия – по третьему закону Ньютона являются центральными, а значит, потенциальными. Чаще всего термин внешние силы на практике обозначает непотенциальные силы.

Перейдем к определению потенциальной энергии. Будем считать, что на тело действуют только потенциальные силы. Сначала нужно выбрать точку О, в которой потенциальная энергия равна нулю. Этот выбор может быть как осмысленным, так и совершенно произвольным.

1

O

2

Рис.17. К определению потенциальной энергии

Потенциальной энергией тела в точке 1 называется работа потенци-

альных сил по перемещению тела из точки 1 в точку 0. EΠ1 = A10 (50)

Заметим, что силы потенциальные, а значит, работу можно совершать вдоль любой траектории с выбранными точками 1 и 0.

Найдем работу потенциальных сил по перемещению тела из точки 1 в точку 2. Эту работу можно совершать вдоль любой траектории; выберем из них ту, которая проходит через точку О:

A12 = A102 = A10 + A02 =		A10 − A20		= EΠ1 − EΠ 2 , т.е.
Aпот = E	Π1	− E	.	(51)
12		Π 2

Сравним формулы (47) и (51). Если в системе действуют только потенциальные силы, то левые части у них будут одинаковыми, следовательно

Ek 2 − Ek1 = EΠ1 − EΠ 2 , Ek 2 + EΠ 2 = Ek1 + EΠ1 , E2 = E1.

(52)

Буквами Е1 и Е2 обозначена полная механическая энергия тела, которая равна сумме кинетической и потенциальной.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

19

Если рассмотреть систему тел и допустить существование непотенциальных сил, то левые части формулы (47) и (51) не будут равны.

A12всех − A12пот = ( Ek 2 − Ek1 ) − ( EΠ1 − EΠ 2 ) = ( Ek 2 + EΠ 2 ) − ( Ek1 + EΠ1 ) (53)

Их разность будет равна работе непотенциальных.

Aнепот = E	2	− E	(54)
12		1

Уже отмечалось, что все внутренние силы – силы взаимодействия обязательно центральные, т.е. потенциальные. Все непотенциальные силы обязательно внешние; работа непотенциальных сил это работа внешних сил.

Aвнеш = E	2	− E	(55)
12		1

Если система замкнутая, и в ней нет внешних сил или внешние силы компенсируются, механическая энергия такой системы сохраняется.

Динамика вращения абсолютно твердого тела.

Момент инерции – это мера инертности АТТ при вращении вокруг неподвижной оси. Сначала дадим определение момента инерции материальной точки относительно оси.

O

R

m

I = mR2

(56)

O’

Рис. 18. Момент инерции материальной точки

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему жестко связанных друг с другом материальных точек. Момент инерции такой системы складывается из моментов инерции отдельных материальных точек:

I = ∑ I	i	= ∑ m R2	(57)
		i i

Это значит, что момент инерции – аддитивная величина, т.е. если из нескольких тел составить одно, то его момент инерции будет равен сумме инерции составляющих его тел. В случае непрерывного распределения массы тела по объему вместо суммы будет интеграл по объему тела.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

20

Отметим, что тело не обязательно вращается вокруг рассматриваемой оси. Оно может быть неподвижным, и вращение лишь допускается.

В методических указаниях к выполнению контрольных работ по физике для заочников МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ приведены моменты инерции некоторых геометрических фигур.

Теорема Штейнера. Пусть через тело проходят две параллельные оси, причем одна из них через центр масс – точку С. Момент инерции относительно этой оси равен Io. Момент инерции относительно другой оси равен I. Расстояние между осями b. Момент инерции I связан с Io соотношением:

I

Io

С	I = Io + mb2 .	(58)
b
	Рис. 19. Теорема Штейнера
Момент импульса абсолютно твердого тела равен
L = Iω		(59)

Используя эту формулу нужно понимать, что при вращении АТТ вокруг различных осей момент инерции может быть разным, т.е. I в правой части равенства – это не совсем число, а скорее матрица 3×3. Если привести ее к диагональному виду, то на главной диагонали будут моменты инерции тела относительно трех координатных осей.

Продифференцируем это выражение по времени

	∑ Mi = d L = d (Iω ) = I d ω = Iε
		d t		d t		d t
и получим второй закон Ньютона для вращательного движения АТТ
			∑ M i = Iε .			(60)
Работа при вращении АТТ. При повороте тела вокруг оси О на не-
который малый угол	ϕ все точки тела будут двигаться по дугам ок-
ружностей S. Если угол поворота мал, то длина дуги равна пере-
мещению точки	S = r.