Физика 1 семестр - Механика

Конспект лекций по Физике	для студенческих групп						Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k		21
ϕ							A = (F r ),
							r = ϕ R ,
ϕ							A = (F	ϕ R ).
				r			По свойству смешанного
R
							произведения векторов
Рис.20. К определению работы						A = ( ϕ RF ) = ( ϕ M ).
по вращению АТТ							Таким образом, имеем
				A = (M ϕ ).				(61)
Мощность вращения АТТ можно найти, поделив формулу (61) на t
		A			ϕ
N =			=	M		=	(M ω ).	(62)
		t			t

Кинетическая энергия АТТ. Пусть тело вращается вокруг закрепленной оси. Разобьем его на элементарные области, каждую из которых в даль-

нейшем будем считать материальной точкой с массой mi. Каждая точка тела движется по окружности со своим собственным радиусом Ri.

Центры всех окружностей лежат на оси вращения. Все точки тела имеют одну и ту же угловую скорость ω. Линейную скорость каждой точки тела можно найти, воспользовавшись формулой (14): υi = ωRi .

υi

mi

Ri

О

Рис.21. Вращение элементарного фрагмента АТТ

Конспект лекций по Физике

для студенческих групп Z3111,

Z3221, Z3442k,

Z3532k

22

Кинетическая энергия элементарного фрагмента АТТ равна

E

=

miυi2

=

mi Ri2ω2

.

(63)

K i

2

2

Кинетическая энергия, связанная с вращением всего тела, равна

Ekвр = ∑

mi Ri2ω2

= ω2

∑ mi Ri2 =

Iω2

.

(64)

2

i

2

2

i

Если тело движется поступательно со скоростью υ, и одновременно вращается вокруг оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью ω, то полная кинетическая энергия равна сумме величин, задаваемых формула-

ми (46) и (64)

E		=	mυ 2	+	Iω2	.	(65)
	k
		2		2

Теория Относительности.

Постулаты Эйнштейна

1.Скорость света в вакууме не зависит от выбора инерциальной системы отсчета и всегда равна с = 3·108 м/с.

2.Все физические процессы протекают одинаково для наблюдателей в любой инерциальной системе отсчета.

Первый из этих постулатов противоречит преобразованиям Галилея для скоростей (26), однако подтверждается астрономическими наблюдениями и специально проведенными оптическими экспериментами.

Преобразования Лоренца.

Преобразования Лоренца связывают координаты тела и время в двух разных инерциальных системах отсчета (рис.22). Одна из них – система K покоится, а вторая – система K’ движется относительно первой с постоянной скоростью υ. Будем считать, что скорость υ направлена вдоль оси (ох), и в начальный момент времени координатные оси двух систем совпадали.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

23

y	y’
K	K’	υ	A

r

r '

x, x’

R =υt

z

z’

Рис. 22. Неподвижная и подвижная системы отсчёта

x¢ =

x -υ t

;

y '= y ;

z¢ = z ;

t¢ =

t -υ x c2

. (66)

1 - (υ c)2

1 - (υ c)2

–Координаты и время оказались завязанными друг с другом.

–Время в различных инерциальных системах отсчета течет по-разному.

–Поперечные координаты для наблюдателей из разных инерциальных систем отсчета одинаковы.

Обратные преобразования Лоренца получаются из прямых при изме-

нении направления скорости υ и при замене всех штрихованных величин на не штрихованные, а не штрихованных – на штрихованные.

x =

x′ +υ t

;

y = y¢;

z = z¢;

t =

t

′ +υ x c2

. (67)

1 - (υ c)2

1 - (υ c)2

Следствия из преобразований Лоренца.

1. Относительность одновременности.

Два события, которые происходят для наблюдателя в системе К одновременно

( t = 0,

но x ¹ 0) , для наблюдателя в системе К’

происходят не одновременно.

t¢ =

t -υ x c2

=

0

-υ x c2

=

-υ x

¹ 0;

t¢ ¹ 0. (68)

1 - (υ c)2

1 - (υ c)2

c2 × 1 - (υ c)2

Конспект лекций по Физике для студенческих групп			Z3111, Z3221, Z3442k,	Z3532k	24
2. Сокращение продольных размеров быстро движущихся тел:
ℓ = ℓ0		.
	1− (υ / c)2			(69)

В этой формуле ℓо – собственная длина, т.е. длина, измеренная в той системе отсчета, относительно которой тело покоится.

Собственная длина всегда максимальна.

3. Замедление хода часов в быстро движущихся системах отсчета:

τ =	τ 0
	1 − (υ / c)2 .	(70)

В этой формуле τо – собственное время, т.е. время, измеренное в той системе отсчета, относительно которой тело покоится.

Собственное время всегда минимально.

4. Закон сложения скоростей:

′

=

u ±υ

u

1

± (uυ c2

) .

(71)

Здесь

u и

υ – скорости двух объектов для неподвижного наблюдателя,

u’

–

скорость этих объектов друг относительно друга. В формуле знак

минус, если скорости u и

υ направлены в одну сторону,

плюс – если в

разные.

Следствия из формулы (71)

–

Если любая из скоростей

u или υ есть скорость света в вакууме с,

то в результате сложения получится

u′ = c .

–

Если u < c и υ < c , то обязательно

u′ < c .

5. Интервал

S (между событиями) состоит из двух частей –

из временной

и пространственной:

S 2 = (c t )2

− ( x2

+

y2 + z2 ).

(72)

Интервал инвариантен относительно преобразований Лоренца, т.е. одинаков для наблюдателей в любой инерциальной системе отсчета.

Если временная часть больше пространственной, т.е. S 2 > 0, а S -

действительное число, то такой интервал называется временеподобным.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

25

Можно выбрать такую систему отсчета, в которой интервал сведется к измерению промежутка времени между двумя событиями.

Если пространственная часть больше временной, т.е. S 2 < 0, а S -

мнимое число, то такой интервал называется пространственноподобным. Можно выбрать такую систему отсчета, в которой интервал сведется к измерению расстояния между двумя одновременными событиями.

Если два события связаны друг с другом временеподобным интервалом, то одно из них может быть (может и не быть) следствием другого. Если два события связаны пространственноподобным интервалом, то ни одно из них не может быть следствием другого.

6.Импульс в теории относительности записывается так же, как и в классической механике (28)

p = mυ ,

(72)

но понятие массы при этом наполняется новым содержанием

m =	m0
	1 − (υ c)2 .	(73)

В этом выражении mo – масса покоя, т.е. масса тела, измеренная в инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

Масса покоя всегда минимальна.

7. В теории относительности вводится понятие энергии покоя

E = m c2.		(74)
0	0

Энергия покоя – это минимальная энергия, которую нужно затратить для “ рождения” частицы.

8. Полная энергия в теории относительности равна

E = m c2 .

(75)

Она включает в себя кинетическую энергию, потенциальную энергию и энергию покоя. Потенциальной энергией обычно пренебрегают.

9. Кинетическая энергия в теории относительности равна

E = m c2	− m c2 .	(76)
k	0

10. Полная энергия, энергия покоя и импульс тела связаны соотношением:

E2 = p2 c2 + E2 .	(77)
0

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

26

Инварианты теории относительности.

Инвариантами называются величины, которые одинаковы для наблюдателей в различных инерциальных системах отсчета.

1.	Скорость света в вакууме – с.
2.	Интервал между событиями – S .

3.Собственная длина – ℓ0 .

4.Собственное время – τ 0 .

5.Масса покоя – mo.

6.Энергия покоя – Eo.

7.Электрический заряд – q.

8.Количество вещества в молях – ν.

9.Безразмерные величины, обозначающие количество чего-либо.