Kollesnikov - Лекции по электротехнике

5.2. Расчет цепей при периодическом воздействии

Рассмотрим двухполюсник, на входе которого действует источ ник несинусоидальной периодической ЭДС, представленной рядом Фурье (рис. 5.4)

e(t)=e(0)+e(1)(t)+e(2)(t)+...+e(n)(t)+...

Посколькуцепьлинейная,топрирасчететокаможемвоспользоваться принципомналожения,изкоторогоследует,чтоесливэлектрическойцепи несколькоисточниковЭДС(токов),тотоквцепиравенсоответствующей суммечастичныхтоков,вызванныхкаждымизисточниковвотдельности

i(t)=i(0)+i(1)(t)+...+i(n)(t)+... .

1122

e(0)

e(1) (t)

3122

e(2) (t)

e(n)(t)

Рис. 5.4

В соответствии с принципом наложения рассмотрим один источ ник (например e(0), т. е. постоянную составляющую), а все осталь ные источники закоротим и рассчитаем ток постоянной составляю щей i(0). В схеме при этом индуктивности закорачиваются, а емкости размыкаются, так как постоянный ток не проходит через емкость и не создает напряжение на индуктивности.

Далее рассчитываем цепь при действии 1 й гармоники (выполня ется методом комплексных амплитуд). Аналогичен расчет k(й гармо ники, при этом сопротивление реактивных элементов схемы отлича ется в k раз, т. е. сопротивление индуктивности возрастает, а сопро тивление емкости уменьшается в k раз по сравнению с сопротивлени ем для 1 й гармоники

Z(k) 1 kZ(1)		1 k2L;	Z(k) 1	ZC(1)	1	1	.
L	L		C	k		k2C

Рассмотрим более подробно влияние характера цепи на форму то ков и напряжений, т.е. рассмотрим отношение действующих значе ний k й гармоники тока к основной

91

1

(k)

1

(1)

1 (k)

1 (1)

1 (k)

(1)

1

(1)

(k)

U

U

I

/I

1

/

1 U

Z

/U

Z

.

Z(k)

Z(1)

1 й случай. Сопротивлением цепи равно R. Тогда

Z(1) 1 Z(k) 1 R,
1	(k)	1	(1)	1 (k)	1	(1)	1 (k)	1 (1)	.
I		/I		1 U	R/U		R 1 U	/U

Следовательно, в цепи с активным сопротивлением формы кри вых тока и напряжения одинаковы.

2 й случай. В качестве нагрузки возьмем индуктивность

Z(1)		1 2L,			Z(k) 1 k2L;
1	(k)	1	(1)		1 (k)	1 (1)	1 (k)	1 (1)	.
I		/I		1 U		3 2L/U	k2L 1 U	/kU

Так как относительная величина k(й гармоники тока в k раз мень ше относительной величины напряжения k(й гармоники, т. е. гово рят, что индуктивность сглаживает ток (широко используется в филь трах).

3 й случай. В качестве нагрузки используется емкость

Z(1)

1

1

,

Z(k) 1

1

;

1(k)

2C

k2C

1

(k)

U

(k)

I

1 U

k2C 1

k.

1

(1)

(1)

U

(1)

2C U

I

4 й случай. Нагрузка – последовательный контур L, C

						(1)			1			1					1			2				1		320		2
					Z		4 3L 5					4 3L		1	5							4 3L61			5			7,
																	2			7							2
									3C			6				3								6		3		7
	1											8						LC 9						8				9
где		1 220 – квадрат резонансной частоты;
	2C
			(k)		1			1 2					1					1 2							1			320				2
		Z		4	6k3L 5					7	4 k3L			1	5									4 k3L6		1 5						7;
													6				2		2			7						2			2
					8			k3C 9					8			k		3		LC 9					8				k	3		9

		U(k) 3L114 320 32 2					32
I(k)	5				5	U(k)	1 4 320			1
										k.
I(1)		U(1)		k3L11 4 320 (k3)2 2		U(1)	1 4		320
									(k3)2

92

Если на частоте k(й гармоники выполняется условие резонан са 1k3 4 30 2 , то k(я гармоника тока стремится к бесконечности. Это используется для выделения гармоники в полосовом фильтре.

5 й случай. Нагрузка – параллельный контур L, C

													1				1 2												L
			(1)				(1)					3L5 4								6									C														1
Z(1) 9		ZL					ZC			9			7				3C 8						9													9												,
		ZL(1) ZC(1)											3L 4					1							3L(1				4 320 32)									3C(1 4 320								32)
																		3C
							1			1			2											L
				k3L5 4										6										C																1
Z(k) 9							7			k3C 8						9															9																,
											1						k3L(1 4 320 32) k3C(1 4 320 k232)
					k3L 4 k3C
																																		3							2			4
													1						2					2 2		2	2								k61		8			50				7
	I		(k)				U		(k)										0 1				k 5						U			(K)		9					1k5			2
											k5C 1 8 5																								6									7	.
		I(1)						U(1)					5C11 8 520										52 2							U(1)				3						520		4
																																		61 8						5	2	7
																																		9

На частоте k(й гармоники, равной резонансной частоте 1k3 4 30 2 , данное отношение стремится к нулю. Поэтому k(я гармоника тока не пропускается, задерживается двухполюсником (используется в заг раждающих фильтрах пробках).

5.3.Действующее значение и мощность

вцепи несинусоидального тока

Рассмотрим действующее (среднеквадратическое) значение тока, напряжения и ЭДС на примере действующего значения тока, которое будем обозначать символом I.

Пусть ток разложен в ряд Фурье:

i(t) = i(0)+i(1)(t)+i(2)(t)+...+...+i(n)(t)+... .

Как известно, действующее значение периодического тока (сину соидального и несинусоидального) определяется его среднеквадра тичным значением

T

I 1 1 2i2(t)dt,

T 0

93

где T – период периодического тока.

Для определения действующего значения необходимо ряд возвес ти во вторую степень. При возведении ряда во вторую степень резуль тат может быть представлен в виде двух сумм. Например, для трех слагаемых a1, a2, a3 имеем

3	3
(a1 1 a2 1 a3)2 2 3ai2 1	3apaq.
i 1	p 1
	q 1
	p2q

С учетом последнего будем иметь для действующего значения тока

1 T

1 T

1

2

1 T

1

2

1

(n)

2

( p) (q)

I 3

8i

(t)dt 3

8

7

5i

(t)6

4

8

7i

i

dt.

T

T

T

0

0 n20

0 p20

q20

p3q

Поменяем местами порядок суммирования и интегрирования, по лучим

1	1 T		1
I 3 7 T		8	5i
n20		0

(n)	22	1	1 T		( p) (q)
	(t)6 dt 4	7		8i	i	dt.
			T
		p20		0
		q20

p3q

Рассмотрим произведение p(й гармоники на q(ю гармонику. В силу

T

ортогональности функций синуса и косинуса 2i( p)i(q)dt 1 0. Поэтомувто

											0
рая сумма под радикалом обращается в нуль. При этом первая сумма
1			1 T		1	(n) 22	1			1	(n) 22
6			T	7	4i	5 dt 3	6			4I	5 ,
n	2	0		0			n	2	0

где [I(n)]2 – квадрат действующего значения n(й гармоники.

Из вышеперечисленного следует, что действующее значение неси нусоидального периодического тока равно квадратному корню из сум мы квадратов действующих значений всех гармоник и постоянной составляющей, т. е.

1			1	n 22	3	1	(0) 22	4	1	(1) 22	4 ... 4	1	(n) 2(2)	4 ....
I 3 7			5I	6		5I	6		5I	6		5I	6		(5.4)
n	2	0

94

Аналогично выражается действующее значение напряжения и ЭДС, которые обозначаются символами u и E соответственно.

Пример

Пусть ток задан следующим выражением:

i(t) 3		m 6		1 sin34t 5	1 sin54
	4 I		1 sin4t 5
	8		9	3	5

Тогда его действующее значение

2 t7.

I 4	1	4Im	22	1	1 5	1	5		1 2		4	4 31,07 I 4 1,07I(1).
			7	6		2			2	7
	6	8 2										8	2	m
	9			9		3		5

Часто, как и в приведенном примере, в действующем значении тока удельный вес высших гармоник незначителен. В этом случае для при ближенных расчетов используется расчет по основной (первой гар монике). Этот метод известен как метод эквивалентных синусоид и применяется при расчетах нелинейных цепей.

Рассмотрим мощность в цепи несинусоидального тока. Пусть на пряжение и ток разложены в ряд Фурье

i(t) = i(0)+i(1)(t)+i(2)(t)+...+i(n)(t)+...

u(t) = u(0)+u(1)(t)+u(2)(t)+...+u(n)(t)+....

Тогда мгновенная мощность БУДЕТ

1	1
p(t) 1 i(t)u(t) 1 3i(n)(t)u(n)(t) 2	3i((tp))u(q)(t).
n20	p20
	q20
	p3q

Пользоваться понятием мгновенной мощности неудобно, так как она зависит от времени. Найдем среднюю мощность за период, т. е. активную мощность

	1	T			T	1			1	T	1
P 1		4 p(t)dt 1	1		4	3i(n)(t)u(n)(t)dt 2				4	3i((tp))u(q)(t)dt,
	T		T						T
		0			0 n20				0 0 p20
											q20
											p3q
где в силу ортогональности гармонических функций
				1			T	1
							3	2i((tp))u(q) (t)dt 1 0.
				T
					0 0 p20
								q20

p3q

95

Поменяем местами операции интегрирования и суммирования:

	1	1	T	1	1	T
	P 1 22		3(i(n)(t)u(n) (t)dt 1	22		3 p(n)(t)dt,
		T			T
	n 0		0	n 0		0

где p(n)(t) – мгновенное значение мощности n(й гармони

T

ки; 1 2in(t)u(n)(t)dt 1 P(n) – активная мощность n(й гармоники.

T 0

С учетом последнего после преобразований можно получить, Вт

1
P 1 4 P(n) 1 U(0)I(0) 2 U(1)I(1) cos3(1) 2 U(2)I(2) cos3(2) 2..., Вт (5.5)
n	0
2

Таким образом, активная мощность в цепи несинусоидального тока равна сумме активных мощностей каждой из гармоник в от дельности.

Кроме понятия активной мощности, используется понятие пол ной мощности

S 3 UI 3	1	(1) 22	4	1	(2) 22	4	... 5	1	I	(1)	22	4	1	I	(2) 22	4... , ВА
	U	7		U	7			6			7		6		7
	6			6

и реактивной мощности, которая равна алгебраической сумме реак тивных мощностей всех гармоник

1

Q 1 4Q(i) 1 U(1)I(1) sin2(1) 3 U(2)I(2) sin2(2) 3.... , [вар].

i21

Отношение активной мощности к полной называется коэффици( ентом мощности 1 2 P. Можно показать, что коэффициент мощно

S

сти всегда меньше cos для основной гармоники, т. е. < cos (1). Активная мощность в цепи несинусоидального тока больше ак

тивной мощности в цепи синусоидального тока за счет наличия выс ших гармоник.

В цепи несинусоидального тока различают также мощность иска( жений

T 3 1S2 4 P2 4 Q2 2,

которая возникает из за разного гармонического состава кривых тока и напряжения. Для оценки формы кривых напряжения и тока ис

96

пользуется ряд коэффициентов, при этом рассматриваются кривые, в которых отсутствует постоянная составляющая.

Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения к среднему за период

K 1			U		.	(5.6)
ф			U	ср
Для синусоиды:
K 2		1		21,11.
ф	2	2

Коэффициент амплитуды равен отношению максимального зна чения к действующему

K 1	Um	.	(5.7)
a	U

Для синусоиды Ka 1 2 11,41.

Коэффициент гармоник характеризует совокупною величину выс ших гармоник и равен отношению действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники

		1		1U(n) 22
		5				1U	(2)	2	3 1U	(3)	2	2	3...
		2						2						(5.8)
K	4	n	0		4
r			U(1)						U(1)

По стандарту для промышленной сети коэффициент гармоник не должен превышать 5%.

97

Библиографический список

1.Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов.

К.С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. СПб.: Питер, 2004. 483 с.

2.Новгородцев А. Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по теории электрических цепей: Учеб. пособие. СПб.: Питер, 2005. 576 с.

3.Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышов Э. П. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. СПб.: Лань, 2002.

4.Прянишников В. А. Теоретические основы электротехники: Курс лек ций. СПб.: КОРОНА принт, 2000. 368 с.

5.Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М.: Гардари ки, 2000. 523 с.

6.Линейные электрические цепи. Установившиеся режимы. : Учеб. пособие / Б. А. Артемьев, С. И. Бардинский, В. В. Колесников и др.; ГУАП. СПб., 1999. 108 с.

7.Системный анализ и синтез многополюсников радиотехнических и приборных комплексов.: Учеб. пособие / С. И. Бардинский, В. В. Колесни( ков и др; ГУАП. СПб., 2001. 88 с.

8.Линейные резистивные цепи и цепи в гармоническом режиме.: Ме тодические указания к домашним заданиям № 1, 2. / М. Е. Куцко, Г. Г. Рогачева, Л. Б. Свинолобова; ГУАП. СПб., 1999. 57 с.

98

Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................	3
1. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА ..............	4
1.1. Основные понятия и величины электрической цепи .......	4
1.2. Сопротивление R ......................................................................................	7
1.3. Активные элементы электрической цепи ......................	8
1.4. Основные топологические понятия. Законы Кирхгофа ....	11
1.5. Понятие эквивалентности электрических цепей ............	15
1.6. Обобщенная ветвь и ее уравнение. Законы Кирхгофа для токов
и напряжений ветвей .................................................	15
1.7. Анализ сложных цепей по законам Кирхгофа ................	17
1.8. Метод токов связи .Метод контурных токов ...................	19
1.9. Метод напряжений дерева ...........................................	20
1.10. Метод узловых напряжений .......................................	21
1.11. Уравнения цепей с зависимыми источниками .............	22
2. Анализ цепей переменного тока ...............................................	25
2.1. Переменные тока, напряжения, ЭДС. Основные понятия,
определения .............................................................	25
2.2. Действующее и среднее значения гармонического тока ..	26
2.3. Изображение синусоидальных величин с помощью вращаю
щихся векторов. Метод комплексных амплитуд ............	28
2.4. Параметры цепей гармонического тока .........................	32
2.5. Сопротивление в цепи гармонического тока ..................	35
2.6. Индуктивность в цепи гармонического тока .................	36
2.7. Емкость в цепи гармонического тока ............................	38
2.8. Анализ сложных цепей по законам Кирхгофа ...............	39
2.9. Комплексное сопротивление и проводимость. Схема замеще
ния двухполюсника на заданной частоте .......................	43
2.10. Анализ сложных цепей гармонического тока по законам
Кирхгофа и методам токов связей ................................	44
2.11. Анализ сложных цепей в гармоническом режиме методом
узловых напряжений .................................................	46
2.12. Мощность в цепи гармонического тока ........................	48
2.13. Согласование сопротивления нагрузки и сопротивления
источника. Условие передачи максимальной мощности .	51
3. Резонансные явления в электрической цепи ..............................	54
3.1. Резонанс напряжений в последовательном контуре .........	54
3.2. Частотные характеристики последовательного контура ...	57
3.3. Резонанс токов в параллельном контуре ........................	61
3.4. Частотные характеристики параллельного контура ........	62
3.5. Резонанс в индуктивно связанных цепях .......................	64
4. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ ........................	68
4.1. Взаимная индуктивность. ЭДС взаимоиндукции.
Маркировка зажимов ................................................	68

99

4.2. Последовательное включение двух индуктивно связанных
катушек ...................................................................	73
4.3. Определение взаимной индукции по методу
холостого хода ...........................................................	75
4.4. Анализ сложных цепей с взаимной индукцией ..............	75
4.5. Линейный трансформатор ...........................................	76
4.6. Входные сопротивления трансформатора. Одноконтурная
схема замещения ......................................................	83
4.7. Автотрансформатор ....................................................	85
5. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ .........................................................	88
5.1. Разложение периодической функции в ряд Фурье .........	88
5.2. Расчет цепей при периодическом воздействии ..............	91
5.3. Действующее значение и мощность
в цепи несинусоидального тока ...................................	93
Библиографический список ..............................................	98

100