Kollesnikov - Лекции по электротехнике

вторичной цепи на первичную не изменялось, параметры вторичной цепи приведенного трансформатора надо изменять по формулам

X1	2 nX , X1	2 n2X , R1	2 n2R , Z1	2 n2Z .	(4.26)
м	м 2	2 2	2 н	н

Вторичные токи и напряжения в приведенном трансформаторе также будут

I1	2	1 I , U1			2 nU .	(4.27)
2		n	2	2	2

При замене приведенными величинами параметров в уравнениях (4.25) последние примут вид

1	1			1	1	1	11
U1	3 R1I1		4 jXS1I1		4 jXм(I1		5 I2), 62
U1 1	3 jX1	(I1		5 I11 ) 5 R1 I11		5 jX1 I11		7	(4.28)
								.6
2	м		1	2	2 2		S2 2	8

где XS1 2 X1 3 Xм1 и XS1 2 2 X21 3 Xм1 – индуктивные сопротивления рас сеяния первичной и приведенной вторичной цепи.

Этим уравнениям соответствует приведенная Т образная схема замещения трансформатора, изображенная на рис. 4.15. В этой схе

		2	I1	X1	R1	I1
	11	411 31
			2	S2	2	2
			I1	2 I1 3 I1
			м	1	2
2		U1	X1			U1	Z1
2	1
		м		м		2	н

Рис. 4.15

ме замещения первичные ток и напряжение такие же, как и в исход ном трансформаторе, а вторичные (приведенные) отличаются в n раз, согласно формуле (4.27). Пользуясь схемой замещения, очень удоб но определять токи и напряжения, трансформатора в том или ином заданном режиме. Например, можно задать вторичный ток и напря жение, и вычислить первичный ток и входное напряжение. При этом все требуемые величины, согласно схеме замещения, вычисляются по следующим формулам:

										1	1
1 1	1 1 11	1 1	1 11	1 1	1 1	1 1	1	11	2	Uм		,
UR2	2 R2I2; US2		2 jXS2I2; Uм		2 U2	3 UR2	3 US2; Iм			jX1
											м

81

11	11	11	1	1	1	1	1	1	1	1	1
I	2 Iм	3 I2;	UR1	2 R1I1;	US1	2 jXS1I1;	U1	2 Uм		3 UR1	3 US1. (4.29)

Построим векторную диаграмму для приведенного трансформато

11

ра (рис. 4.16). За исходный вектор примем ток I2 . Учитывая в зави симости от сопротивления нагрузки угол сдвига н между током и

1 1

напряжением на нагрузке, строим U2 , а затем напряжения на актив

ном 11 1 и реактивном сопротивлении рассеивания 1 11 вторич

I2R2 jXS2I2

ной обмотки.

		jXS1I1
U1		I1R1
		jX1 I
	U1	S2 2
	м
		I2R2
1		I1
U2		2
2n
I1		I1
м

Рис. 4.16

1	1	11		1	1	11	1	1
Сумма векторов U2		2 I2R2	2 jXS2I2				3 Uм дает напряжение на ин
дуктивном сопротивлении X1				контура намагничивания. При этом
		11	м		11
			1				отстает от напряжения U1 1 на
намагничивающий ток Iм 2 I1 3 I2
								м

90° (ток в индуктивности отстает от напряжения). Затем строим первичный ток трансформатора в соответствии с выражением

1	11		11
I1	2 Iм	3 I2, и откладываем вектор падения напряжения на актив
	1		1	реактивном сопротивлениях первичной обмот
ном I1R1			и jXS1I1

ки. Замыкающий вектор определяет приложенное входное напря

жение U11.

Ввиду того, что вторичные напряжение U121 и ток I121 приведены к первичной обмотке, т. е. изменены пропорционально коэффициенту трансформации n (4.27), то данная схема приведенного трансформа тора (рис 4.15) не эквивалентна исходной схеме трансформатора. Для того чтобы она стала эквивалентной заданной, введем так называе мый идеальный трансформатор.

Идеальный трансформатор – это такой трансформатор, у кото рого выполняется следующее условие:

82

	U1	1	I2	1	w1	1 n	(4.30)
	U2		I1		w2

– коэффициент трансформации.

Идеальный трансформатор не имеет потерь энергии, и при разом кнутой вторичной обмотки через его первичную обмотку ток не про ходит. Реальный трансформатор будет иметь характеристики иде ального, если коэффициент связи kсв 11, R1 1 R2 1 0 и 2L 33 0 так, что ток холостого хода I10 = 0.

Дополнив схему рис. 4.15 идеальным трансформатором, получим эквивалентную схему трансформатора с идеальным трансформато ром (рис. 4.17).

2	11	411	I1	X1	R1		2
3							3
1			2	S2	2		3
						6	6
2		U1					2	Zн
21					U1	51	53 23
		м			2

Рис. 4.17

Полученная схема на рис. 4.17 теперь эквивалентна схеме ре ального трансформатора и может быть использована при расчете цепей.

4.6. Входные сопротивления трансформатора. Одноконтурная схема замещения

Возьмем уравнение трансформатора (4.17) предыдущего раздела

1	1		1	1
U1	1 I1R1	2 jX1I1		3 jXмI2,
1		1	1	1
U2	1 jXмI1		3 I2R2 3 jX2I2,
и выразим напряжение на нагрузке
1	1		1	2 jXм ).	(4.31)
U2 1 I2Zн		1 I2(Rн

Подставив (4.31) во второе уравнение системы (4.17), выразим ток I12 в виде

83

1

1

1

jXмI1

jXмI1

I2 1

1 2

,

(4.32)

RII 3 jXII

R2 3 Rн 3 j(X2 3 Xн )

где RII 1 R2 2 RнXII 1 X2 2 Xн

– активное и реактивное сопротивления

входной цепи соответственно.

Подставим (4.32) в первое уравнение системы (4.17) и получим

1

1

1

X2

м

U1

1 I1R1 2 jX1I1

R

2 jX

.

II

II

Домножив и разделив третье слагаемое на число сопряженное зна менателю, будем иметь

					1	1	4 5R 4 j(X1 4 5X)2,				(4.33)
					U1	3 I11R1
где 1R 2		X2				1X 2 3		X2
			м		RII,			м	XII	– вносимые активное и ре
	R2	3 jX2					R2	4 jX2
	II			II			II	II
активное сопротивления соответственно.
Исходя из (4.33), входное сопротивление трансформатора
		1
Z 1			U1	1 R 2 3R 2 j(X 2 3X) 1 R 2 jX 2 Z 1 Z 2 Z							(4.34)
1вх		1			1		1		1	1 вн 1 вн
			I1

существенным образом зависит от вносимого сопротивления

Zвн 1 2R 3 j2X.

Выражению (4.34) соответствует следующая одноконтурная схе ма замещения трансформатора (рис. 4.18).

2
21	11	41

1R

2

31

1X

Z1вх

Рис. 4.18

В этой схеме влияние вторичного контура на первичный учитыва ется вносимым сопротивлением. Причем активное вносимое сопро

84

тивление характеризует активную мощность, которая передается из первичной обмотки во вторичную. Реактивное сопротивление &X учи тывает взаимодействие магнитных полей первичной и вторичной об мотки. Если характер нагрузки активно индуктивный, то &X < 0 и вто ричная обмотка действует размагничивающим образом на первичную, с ростом тока нагрузки первичный ток должен возрасти, чтобы ском пенсировать это размагничивающее действие. При емкостном характе ре контура &X > 0 и вторичная обмотка действует намагничивающим образом на первичную. Следовательно, с ростом тока нагрузки первич ный ток падает, чтобы эквивалентный поток остался неизменным.

Найдем входное сопротивление идеального трансформатора. Ис ходя из (4.30), получим

	1				1	1
Z	1	U1	1	nU2		1 n2	U2	1 n2Z .	(4.35)
1вх	1		1		1	1		Н
		I1					I2
				n I2

Входное сопротивление Z1вх зависит от сопротивления нагрузки и, следовательно, идеальный трансформатора изменяет (преобразу ет) сопротивление нагрузки.

Поэтому реальные трансформаторы, по

	свойствам приближающиеся к идеальным,			1
	используются как согласующие трансформа
	торы для согласования сопротивлениями на		22	21
	грузки с выходным сопротивлением преды
	дущего устройства, что позволяет передать			12
	максимальную мощность. Например, на рис.
	4.19 условно показан выходной каскад уси
	лителя низкой частоты, нагруженного дина
	миком (громкоговоритель – Гр).
	Коэффициент трансформации трансфор			Рис. 4.19
	матора определяется на основании
	n 1 w1 1	R1вх ,
	w2	RH

где RН – активное сопротивление нагрузки (громкоговорителя); R1вх – входное сопротивление трансформатора, которое должно рав няться выходному сопротивлению выходного каскада (транзистора).

4.7. Автотрансформатор

Автотрансформатор отличается от трансформатора тем, что его

85

обмотка низшего напряжения является частью обмотки высшего на пряжения (см. рис 4.20)

Уравнения для автотрансформатора имеют вид

1		1	6 3R2			1	1
U1	5 1R1 6 j(X1 6 Xм)2I1				6 j(X2 6 Xм)4(I1		7 I2),
				1		1
	U 3 1R2 4 j(X2 4 Xм)2 I1 5 (R2					4 jX2)I2.
		2
		31
			11
		5
			41	2
	2			33
	21	5
			43		2
					23	Zн
			13

Рис. 4.20

Этим уравнениям соответствует схема замещения автотрансфор матора на рис. 4.21.

2								2
31	11			41541		641		33

I1 I2

213

21		2		Z
			23	н

43541

Рис. 4.21

Правая ветвь схемы состоит из отрицательного индуктивного со противления Xм , которое не может быть реализовано на пассивных элементах. Поэтому данная схема может быть использована только при расчетах. Обозначим индуктивность каждого витка через L, об щее число витков w 1 w1 2 w2, где w2 – число витков обмотки низшего напряжения. Приняв коэффициент связи kсв 11 , т. е. пренебрегая

86

рассеиванием, получим схему замещения автотрансформатора на рис. 4.22.

2

31 11 51545326 451545326

2

I1 I2 33

213

21		2		Z
			23	н

5536

Рис. 4.22

В режиме холостого хода коэффициент трансформации автотран

1

сформатора n 1 U11 1 w . При нагрузке подводимая к автотрансфор

U2 w2

матору мощность передается в нагрузку как посредством взаимной индукции (через магнитное поле), так и непосредственно через элек трическую связь.

Применение автотрансформатора вместо обычного трансформато ра той же мощности и с таким же коэффициентом трансформации дает экономию в меди, затрачиваемой на обмотку. Экономия дости гается за счет сокращения общего числа витков и уменьшения тол щины провода вторичной обмотки, через который проходит ток, рав ный разности первичного и вторичного токов.

87

5. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.1. Разложение периодической функции в ряд Фурье

Различные электронные устройства: мультивибраторы, инверторы, триггеры, выпрямители и т. д., вырабатывают периодические несину соидальныенапряженияразличнойформе.Например,нарис.5.1,а изоб ражена временная диаграмма выходного напряжения триггера, а на рис.5.1,б – напряжение на отклоняющих пластинах кинескопа.

a)	2112		б)	2415

1

1

3

3

Рис. 5.1

Для расчета цепей при периодических несинусоидальных воздей ствиях можно воспользоваться принципом наложения. Для этого необходимо представить функцию в виде ряда Фурье.

Как известно из математики функция f(t), удовлетворяющая ус ловиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале ко нечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть представлена рядом (5.1)

				a0		1
	f(x) 1				2	4(an cosn3t 2 bn sinn3t),			(5.1)
			2			2
						n 1
	где
		2	T				2	T
	an 1		3f(t)cosn2dt, bn 1					3f(t)sinn2dt	(5.2)
		T					T
			0					0

88

– коэффициенты ряда Фурье; n = 0,1,2,... – целое число; T – пе

риод; 2 3 21 – круговая частота, рад/с; f 1 1 – циклическая час

T T

тота, Гц.

Запишем ряд (5.1) через одну тригонометрическую функцию

1

f(x) 1 a0 2 5Cn sin(n3t 2 4n), (5.3) 2 n21

где Cn 1 an2 2 bn2 ,3n 1 arctg an . bn

Рассмотрим более подробно слагаемые в выражении (5.3). Пусть n = 0, тогда из (5.2) имеем

a0		1 T
	1		2f(t)dt,
2		T
			0

– среднее значение функции f(t) за период ее изменения (постоянная составляющая функции).

Если n = 1, то слагаемое в (5.3) C1 sin(1t 2 31) представляет собой синусоидальную функцию. Ее называют основной (первой) гармони кой (тока, напряжения,ЭДС).

Для n=2 из (5.3) имеем C2 sin(21t 2 32) – вторая гармоника (тока, напряжения, ЭДС). Для произвольного n=k по аналогии с предыду щим, Ck sin(k1t 2 3k) – k(я гармоника, частота которой в k раз больше частоты основной гармоники.

Условимся порядковый номер гармоники обозначать сверху сим вола в круглых скобках, например, если ток i(t) разложен в ряд Фу рье, то его слагаемые следует записать следующим образом: i(t) = =i(0)+i(1)(t)+i(2)(t)+...+i(n)(t)+...

В зависимости от вида функции некоторые составляющие ряда могут отсутствовать.

Если функция симметрична относительно оси абсцисс со сдвигом в T/2, то отсутствуют четные гармоники с номерами n = 2,4,6....

Если площадь, ограниченная положительной полуволной, равна площади, ограниченной отрицательной полуволной, то нет посто

янной составляющей a0 . 2

На рис. 5.2 представлена диаграмма разложения прямоугольных разнополярных импульсов в ряд Фурье, согласно выражению

89

u(t) 1 u(1) (t) 2 u(3)(t) 2 u(5)(t) 2... 1
1	4U		sin3 t 2 4		U	sin33 t 2 4		U	sin53		t 2...
	4	0	0	34	0	0	54	0		0
		1	3142		3234
		11
			3254		3264
									4
		211

Рис. 5.2

При анализе цепей несинусоидального тока удобно гармоничес кий состав тока (напряжения, ЭДС) представлять в виде амплитуд ного и фазового дискретных (линейчатых) спектров.

Под амплитудным линейчатым спектром понимают зависимость амплитуды тока (напряжения, ЭДС) от частоты (порядкового номе ра гармоники).

Под фазовым линейчатым спектром понимают зависимость фазы тока (напряжения) от частоты (порядкового номера). На рис. 5.3

1	U(1)		1
		123				423
	m
	U(3)	U(5)		(1)	(3)	(5)
	m			1	1	1
		m	2			2
1	3	2		1	3	2

Рис. 5.3

показаны амплитудный (АЧХ) и фазовый (ФЧХ) дискретные спект ры для сигнала, изображенного на рис. 5.2.

Амплитудные значения 1, 3, 5 гармоник и их начальные фазы при этом равны соответственно

	4U 1 Um(1)		,	4	U 1 Um(3),		4	U 1 Um(5), 2(1)	1 2(3)	1 2(5) 1 0.
				33		53
	3	0			0			0

90