2сем.ЛА и АГ

		Вариант № 6
3		2	2	0		4	2
1. Найти произведение матриц A	4	3	5	и B	3	3	2	.
	1	2			2	1	5
			1

2. Вычислить матричный многочлен	f A A2 6A 3Е, где	3		4
		A	2	1	.

3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:

	x 7 y 8z 3,		x1 3x2						3x4 1,
а)	x y z 1,	б)	x		2x	2	3x	3	4x	4	4,
				1
	5x 2 y 2z 13.				x2		x3		x4		1,
					7x2		3x3		x4 3.

4.

Показать, что векторы p {1; 0; 2}, q { 0; 1; 1},

r

{ 2; 1; 4}

образуют базис и найти

разложение вектора x {3; 3; 4} по этому базису.

5.

Коллинеарны ли

векторы c 2a 5b и

c

2

5a 2b построенные

по векторам

1

a 2; 0; 5 и b 1; 3; 4 ?

6.

Найти косинус угла между

и

, если А 0; 3;6 , B 12; 3; 3 ,С 9; 3; 6 .

AB

AC

7.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b

:

a 4 p q, b p 2q,

p

5,

q

4, p q 4 .

8.

Компланарны ли векторы a 7; 3;

4 , b

1; 2; 1 , c 4; 2;

4 ?

9.

Даны

векторы

a 4; 2;1 , b

1; 2; 5 , c 0; 3; 4 .

Найти

произведения

a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл.

10.Даны вершины треугольника: A(4; 2) , B( 12; 10) , C( 5;14) . Найдите: а) длину стороны BC ;

б) уравнение стороны BC ;

в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;

д) площадь треугольника ABC ;

е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .

11.Даны А1 0; 1; 1 , А2 2;3;5 , А3 1; 5; 9 , А4 1; 6;3 вершины тетраэдра. Требуется: а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;

в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;

д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .

12.Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и опреде-

лите её основные характеристики: y x2 x 1 .

12 2 4

9

Вариант № 7

2		2	1	1		5	3
1. Найти произведение матриц A	3	3	5	и B	2	3	5	.
	1	1			3	4	1
			4

2. Вычислить матричный многочлен	f A 5 A2 2 A 3Е, где	3		2
		A			.
			1	4

3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:

x 2 y 4z 7,

x1 2x2 3x3 4x4 4,

а) 5x

y 2z 8,

x2 x3 x4 3,

б)

x1 3x2

3x4 1,

3x 2 y 3z 8.

7x2 3x3 x4 3.

4.

Показать, что векторы p {3; 1; 0}, q { 1; 2; 1},

r

{ 1; 0; 2} образуют базис и найти

разложение вектора x {3; 3; 1} по этому базису.

5.

Коллинеарны ли векторы c 4a

3b и

c

2

12 a 9b

построенные по векторам

1

a 1; 2; 8 и b 3; 7; 1 ?

6.

Найти косинус угла между

и

, если А 2; 4;6 , B 0; 2;4 ,С 6; 8;10 .

AB

AC

7.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b :

a

2 p 3q, b p 2q,

p

6,

q

7, p q 3 .

8.

Компланарны ли векторы a 2; 3;

2 , b

4; 7;5 , c 2; 0; 1 ?

9.

Даны

векторы

a 3;0;1 , b 1; 5; 2 , c 2; 3;0 .

Найти

произведения

a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл.

10.Даны вершины треугольника: A(2;5) , B( 14; 7) , C( 7;17) . Найдите: а) длину стороны BC ;

б) уравнение стороны BC ;

в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;

д) площадь треугольника ABC ;

е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .

11.Даны А1 5;2;0 , А2 2;5;0 , А3 1; 2;4 , А4 1;1;1 вершины тетраэдра.

Требуется:

а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;

в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;

д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .

12. Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 4x y2 2 y 9 .

10

Вариант № 8

	1		2	1			1 5			3
1. Найти произведение матриц		1 4		5		и		2	3
	A						B			1 .
		2	1	3				0	4	5

2. Вычислить матричный многочлен	f A 3 A2 5A 2Е, где		2	1
		A		.
			2
				3

3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:

2x y z 9,

x1 2x2 3x3 x4 1,

а) 2x 4 y z 11,

б)

3x1 5x2 4x3

2x4

2,

2x1 3x2 x3 x4 1,

7x 2 y 2z 24.

3x

4x

2

3x

3

x

4

1.

4.

1

Показать,

что векторы

p { 0; 1; 2}, q { 1; 0; 1},

r

{ 1; 2; 4} образуют базис и найти

разложение вектора x { 2; 4; 7} по этому базису.

5.

Коллинеарны ли

векторы

c a

3b

и

c

2a 6b

построенные

по векторам

1

2

a 4; 2; 7 и b 5; 0; 3 ?

6.

Найти косинус угла между

и

, если А 7;0;2 , B 7;1;3 ,С 8; 1;2 .

AB

AC

7.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b :

a

3 p q, b p 2q,

p

3,

q

4, p, q 2 3 .

Компланарны ли векторы a 5; 3;

8.

4 , b 1; 0; 1 , c 4;

2; 4 ?

9.

Даны

векторы

a 4; 5;1 , b 1; 2; 2 , c 2; 3;1 .

Найти

произведения

a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл.

10.Даны вершины треугольника: A(0;7) , B( 16; 5) , C( 9;19) . Найдите: а) длину стороны BC ;

б) уравнение стороны BC ;

в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;

д) площадь треугольника ABC ;

е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .

11.Даны А1 2; 1; 2 , А2 1;2;1 , А3 5;0; 6 , А4 10;9; 7 вершины тетраэдра.

Требуется:

а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;

в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;

д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .

12.Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: 3x2 8y2 12x 16y 4 0.

11

Вариант № 9

		5	2	1			1 5			3
1. Найти произведение матриц		1	4	5		и		0	3	1
	A						B				.
		2	1	3				1	4	2

2. Вычислить матричный многочлен	f A 2 A2 3A 8E , где		6	1
		A	2	3	.

3.Решить систему а) по правилу Крамера; матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:

x 3y

4,

x 2x

x

3x

5,

3x 2 y

z 3,

1

2

3

4

10,

а)

б) 2x1

4x2 2x3

6x4

2x

y

z 3.

x2

x4

20.

4.

2x1

Показать, что векторы p { 1; 2; 1}, q { 2; 0; 3},

r

{1; 1; 1} образуют базис и найти

разложение вектора x { 1; 7; 4} по этому базису.

5.

Коллинеарны ли векторы

c 2a

b

и

c

6a 3b

построенные

по векторам

a 5; 0; 1 и b 7; 2; 3 ?

1

2

6.

Найти косинус угла между

и

, если А 2;1; 1 , B 6; 1; 4 ,С 4;2;1 .

AB

AC

7.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b :

10,

a

3 p 2q, b

p q,

p

q

1, p, q

2 .

Компланарны ли векторы a 1; 2;

8.

6 , b 1; 0;1 , c 2; 6; 17 ?

9.

Даны

векторы

a 2; 5;6 , b

3;1; 4 , c 2; 3;7 .

Найти

произведения

a b; a b , a,b, c и дать их геометрический смысл.

10.Даны вершины треугольника: A(8; 2) , B( 8; 10) , C( 1;14) . Найдите: а) длину стороны BC ;

б) уравнение стороны BC ;

в) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ; г) длину высоты, проведенной из вершины A ;

д) площадь треугольника ABC ;

е) уравнение медианы, проведенной из вершины A .

11.Даны А1 1; 2; 0 , А2 3; 0; 3 , А3 5; 2; 6 , А4 8; 4; 9 вершины тетраэдра.

Требуется:

а) составить уравнение грани А1 А2 А3 ; б) найти расстояние от точки А4 до грани А1 А2 А3 ;

в) найти угол между гранью А1 А2 А4 и гранью А1 А2 А3 ; г) составить параметрические уравнения ребра А3 А4 ;

д) найти угол между ребром А3 А4 и гранью А1 А2 А4 ; е) составить уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1 А2 А3 .

12.Приведите уравнение кривой к каноническому виду, постройте эту кривую и определите её основные характеристики: y2 4 y 12x 16 0 .

12

Типовой разбор варианта контрольной работы

Задание 1.								2	1
		1	2
а) Найти произведение матриц					,	B		0	3
	A	3	1							.
								1
									1

Решение. Произведение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц выполняется по правилу «строчка на столбец».

В данном примере произведение A B не имеет смысла, т. к. число столбцов первой матрицы равно 2, а число строк второй матрицы равно 3.

Произведение B A можно найти:

2		1	1	2	2 1 3 1			2 2 1 1					5	5
BA	0	3			0 1 3 3			0 2 3 1					9	3 .
	1		3	1	1 1 1 3			1 2 1 1				2		1
		1
						5	5
						9
Ответ: АВ – не существует; ВА							3 .
					2		1				2		1
б) Найти произведение матриц A 1							2	1	, B
										1			3 .
						3	1	2		0			1

Решение. Для данных матриц возможны оба произведения:

1	2 1			2		1			1 2 2 1 1 0				1 ( 1) 2 3 1 1			4	6		,
AB				1		3					2 0						2
3	1 2		0			1			3 2 1 1				3 ( 1) 1 3 2 1			7
2	1								2 1 1 3		2 2 1 1			2 1 1 2	1 3		0
BA 1	3 1 2					1		1 1 3 3 1 2 3 1 1 1 3 2							10 5		7 .
0	1	3		1		2			0 1 1 3		0 2 1 1			0 1 1 2	3 1		2
Ответ: AB			4		6	,			1	3	0
								BA 10		5	7	.
		7			2				3	1	2

13

Задание			2. Вычислить матричный многочлен f ( A) 2 A2 7 A 5E , где
	4	3
A			.
	7	10

Решение. Выполним вычисления по действиям.
A2	4 3			4		3	37	42		2A2	2		37 42					74			84		;
								;
		10											98								242
	7			7	10		98	121						121				196
		4	3			28	21	2A2			74		84					28	21			46
7 A 7							;			7 A
		7				49							242					49	70
			10				70				196										147
	1		0	5 1			5 0	5 0
5E 5					5 0				.
	0		1				5 1	0 5

63 .

172

Таким образом,		f ( A) 2 A2				46	63			5	0			51	63
					7 A 5E	147	172			0	5			147	177	.
		51	63
Ответ: f ( A)	147		177	.

Задание 3. Решить систему а) по правилу Крамера, матричным способом (с помощью обратной матрицы); систему б) методом Гаусса:

		x 3y z 4,		x	x	2	x	x	4	1,
				1			3	2x		5,
а)			2x		3x		4x
	2x y 5z 15,		б)	1		2	3	4		6,
				3x	2x		5x	3x
		5x y 4z 19,		1		2	3	4
				x	4x		3x	x		4,
				1		2	3	4

Решение.

а) Решим систему по правилу Крамера. Вычислим основной определитель, раскладывая его по 1-ой строке через алгебраические дополнения:

				1	3	1						1	5					2		5					2		1
				2	1	5				1				3								1						1		3 33 7 105 0 ,
				5	1	4						1	4					5	4						5		1
система имеет единственное решение.
Вычислим вспомогательные определители системы:
		4			3 1											1				4 1														1	3		4
x		15			1	5				105; y						2			15			5			210 ; z									2	1		15	315 .
		19			1		4									5			19			4												5	1		19
Отсюда по формулам Крамера находим:
					x		x				105		1,	y			y				210					2	, z			z		315				3.
											105										105											105

14

Сделаем проверку подстановкой найденных значений в исходную систему:

																					1 1 3 2							1 3 4,
																												5 3 15, верно.
																					2 1 1 2
																												4 3 19,
																					5 1 1 2
															x 3y z 4,
Решим систему 2x y 5z 15, матричным способом.
												5x y 4z 19,
В матричной форме эта система запишется в виде AX B ,
	1 3											1												4					x
где A		2						1				5							, B									X
																							15				,		y				.
		5 1										4												19
																													z
Решение системы находится по формуле X A 1 B .
Т. к. А 105 0																		существует обратная матрица A 1.
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A :
А ( 1)1 1							1					5					1; А									( 1)		1 2			2				5				33							; А ( 1)1 3									2			1						7 ;
11								1				4									12										5		4														13								5				1
А ( 1) 2 1										3		1					13;						А			( 1) 2 2									1		1						9			; А			( 1) 2 3								1	3			14 ;
21										1		4												22											5		4										23										5	1
								3				1						16 ;					А			( 1) 3 2							1 1								3 ;					А	( 1)			3 3			1 3									7 .
А ( 1) 3 1
31								1				5												32									2			5										33							2 1
Получили матрицу алгебраических дополнений
																							Aij					1			33						7
																												13					9 14
																																												.
																												16					3						7
Составим обратную матрицу:
																																			7 T
				1							Aij			T							1					1		33																		1			1 13				16
1
A																									13			9					14															33 9				3							,
			A																		105																								105
																									16			3 7																					7	14							7
														1							1			13				16					4
				1
X A										B										33 9								3					15
													105								7				14			7					19

15

															1			1 4 13( 15) 16 19																				1					105			1			x
																		33 4 9( 15) 3 19																									210			2			y	.
													105																							105
																			7 4 14( 15) 7 19																								315			3
																																																	z
Таким образом,						x 1,						y 2 ,							z 3.
				x1	1,												1
Ответ:				x2	2,	или X											2		.
				x	3												3
				3																						x		x				x						x
																																										1,
																										1		2				3		2x					4			5,
б) Решить систему методом Гаусса:																								2x				3x			4x								4
																										1		2				3		3x									6,
																									3x			2x			5x
																										1		2				3						4
																										x		4x	2		3x			x									4.
																										1						3						4
Расширенную матрицу системы																						с помощью элементарных преобразований
																				A
приведем к ступенчатому виду:
		1 1 1				1				1														1				1 1 1						1
			2	3 4		2		5				I ( 2)							II							0		5 2 0						3
A																							~																							~
			3	2	5	3			6			I ( 3)							III					0				5		2		0		3						II ( 1) III
			1	4 3		1		4				I ( 1)							IV							0		5 2 0						3						II ( 1) IV
		1		1	1	1				1
			0	5 2		0									1 1 1 1													1
										3
	~												~
			0 0 0			0				0									5 2							0		.
															0												3
			0	0	0	0				0
С помощью полученной матрицы запишем систему:
																x1 x2 x3 x4 1,
																			5x		2		2x					3.
Т. к. rang( A) 2																										3
						имеем две базисные переменные.
Пусть x1, x2 – базисные неизвестные, тогда x3 ,																															x4 – свободные.
Придавая свободным переменным произвольные значения x3 и x4																																																	,

получим общее решение исходной системы:

x		x		x x	1,		x1 2 1,
	1		2	3	4			5
		5x2 2x3 3,								3		2
								x2					,
			x3 ,							5		5
								x
			x4 ,						,
								3	,
								x
								4

x1 1 1, 4 ,

x2 0,6 0, 4 ,

x3 ,x4 .

16

Если 1, 0 , тогда x1	1, 4 ;	x2 0,4 .
Если 0 , 1, тогда x1	1, x2	0 .			1,4						1
					0,4						0
Получена фундаментальная система решений: X							X						.
			1			,		2
					1						0
					0						1

Если 0,	0 , тогда			x1 1,	x2 0,6 , отсюда получим частное решение
		1
		0,6
системы X чн		0	.
		0

Общее решение неоднородной системы можно записать в виде:
												1,4							1					1
													0,4						0					0,6
		X C X		C		X		X		C					C												,
			1		2		2		чн							2
		1								1			1						0					0
													0						1					0
где C1 и C2 – произвольные числа.
x1		1 1,4 ,										1, 4					1							1
		0,6 0,4 ,											0, 4						0				0,6
x2							или		X C						C											,
Ответ:	x	,
										1		1			2				0					0
	3
x ,													0						1					0
	4

где , ,C1,C2 R .

Задание 4. Показать, что векторы p {1,1,4}, q { 3,0,2}, r {1,2, 1} образуют базис и найти разложение вектора x { 13, 2,18} по этому базису.

Решение. Векторы в n-мерном пространстве образуют базис, если

1)они упорядочены,

2)размерность пространства совпадает с количеством базисных векторов,

3)векторы линейно независимы.

Проверим, что векторы p , q , r образуют базис:

1)они упорядочены: p, q, r ;

2)размерность пространства равна трем и совпадает с количеством базисных векторов;

3)для доказательства линейной независимости векторов составим их нулевую линейную комбинацию:

17

								1				3				1
p q r					или			1				0				2		0 ,
			0
1	2	3				1				2				3
								4				2
																1
она равносильна однородной системе линейных уравнений
		3								0,
					1	2			3	0,
		1					2 3
		4				2				0.
					1		2		3

	Вычислим основной определитель полученной системы:
			1	3	1		1				3 1				0	2				1	3			1 1 2 14 29 0 .
			1 0		2
			4	2	1						2	1								4	2
	Т. к. 0 , то система имеет единственное нулевое решение 1																														2 3 0 .
Следовательно, по определению векторы p ,																					q ,			r	являются линейно независи-
мыми.
	Т. о. векторы p, q, r										удовлетворяют трем условиям, а, значит, они образуют
базис.								x														p			q , r , т. е. представить вектор
	Разложить вектор								по базисным векторам														,
x	в виде линейной комбинации:														x p q										r .
	3				13,							1			3	1			13						1		0	2		2
					2 2,								1	0		2			2					~		0	3	1		15
																															~
					18,								4	2		1			18							0	2	9		10
	4 2

	1 0			2		2			1 0			2		2			1
~		0	1	10		5		~		0	1	10		5		~		0
		0	2	9		10				0	0	11		0				0

Ответ: p, q, r – образуют базис; x 2 p 5q .

Задание 5. Коллинеарны ли векторы c1 6a 2b по векторам a { 1,2, 1} и b {2, 7,1}?

0	0		2			2,
1	0		5				5,
0	1		0
						0.

и c2 b 3a , построенные

Решение. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Найдем координаты векторов с1 и c2 :

с1 6a 2b 6 { 1,2, 1} 2 {2, 7,1} { 6,12, 6} {4, 14,2}

{ 6 4;12 ( 14);6 2} { 10,26, 8}.

с2 b 3a {2, 7,1} 3 { 1,2, 1} {2, 7,1} { 3,6, 3}

{2 ( 3); 7 6;1 ( 3)} {5, 13,4}.

18