2сем.ЛА и АГ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Агишева Д. К. Матрицы и их приложение к решению систем линейных уравнений: Учебное пособие/ Д. К. Агишева, С. А. Зотова, В. Б. Светличная. - Волгоград, РПК «Политехник», 2001. – 63с.

2.Александрова Л. А, Александрова В. А, Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А., Короткова Н. Н. Математика. I часть: Учебное пособие (для студентов заочной формы обучения) / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003.

– 84с.

3.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.:

Рольф, 2000. – 288 с., с илл.

4.Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н., Шевченко Ю. А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576 с., с илл.

5.Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А.. Практическое руководство по аналитической геометрии: Учебное пособие / – Волгоград, РПК «Политех-

ник», 2003. – 41с.

6.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты – М.: Высшая школа, 1983.

7.Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для втузов – СПб: «Специальная Литература», 1998.–200 с.: илл.

8.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1981.–720с.: илл.

9.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. –М.: Гостехтеоргиздат, 1973.

29

Теоретические вопросы по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

1.Матрица: определение, виды, действия над матрицами.

2.Элементарные преобразования строк матрицы. Ранг матрицы.

3.Определитель 2-го порядка: определение, свойства. Определитель 3-го порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.

4.Обратная матрица.

5.Системы линейных уравнений. Основная и расширенная матрицы системы. Матричная запись.

6.Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений: матричным способом, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.

7.Фундаментальное решение. Общее решение систем линейных однородных и неоднородных уравнений.

8.Геометрический вектор. Его длина. Проекции вектора на оси координат. Направляющие косинусы. Коллинеарность, компланарность векторов. Угол между векторами.

9.Линейная зависимость и независимость векторов. Базис векторного пространства.

10.Скалярное произведение векторов: определение, свойства. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

11.Векторное произведение векторов: определение, свойства. Площадь параллелограмма.

12.Смешанное произведение векторов: определение, свойства. Условие компланарности векторов. Объём параллелепипеда, тетраэдра, его высота.

13.Прямая на плоскости. Различные виды уравнений. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.

14.Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

15.Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

16.Эллипс: каноническое уравнение, характеристики.

17.Гипербола: каноническое уравнение, характеристики.

18.Парабола: каноническое уравнение, характеристики.

30

Приложение 1

ВЕКТОРЫ

Координаты точки М есть коорди-

OM {x;y;z}; M(x;y;z)

наты радиус-вектора OM

Вектор a

;

AB

AB {xb xa ;yb ya ;zb za }

где A xa , ya , za , B xb , yb , zb

a

Координаты вектора a

{ax ;ay ;az } ax

ay

az

i

j

k

a

Длина вектора a

|

|

(a

)2

(a )2 (a

)2

a

x

z

y

e

– орт a : ( e a,

e

1)

a

{cos ; cos ; cos }

a

e

a

a

a

| a

|

Направляющие косинусы a :

cos

a

x

, cos

ay

, cos

a

z

;

a

a

a

cos , cos , cos

cos2 cos2 cos2

1

Проекция вектора a на вектор

пр

a

a

cos ,

b

b

где – угол между a и b .

a b

ax

bx ,

Равенство векторов

ay

by ,

az

bz

ax

ay

az

b

Коллинеарность векторов

a

bz

bx

by

(координаты пропорциональны)

Линейные операции над векторами

{ax

bx ;ay

by ;az

bz }

Сумма (разность) векторов

b

a

Умножение вектора на число

{ ax ; ay ; az }

a

31

Приложение 2

Определение, формулы Свойства, приложения

Скалярное произведение двух векторов

1)

a

a ;

b

b

2)

(

;

b

)

b

a

c

a

c

c

a b a,b

a

np a b const

3)

cos

a b

;

a

b

a b

a

b

cos ,

a

a

;

где – угол между

a,

.

4)

пр

b

b

b

b

a

ax bx ay by az bz

5) a

a

0 ;

b

b

b

6) a 2

a

2

2

2

2 1 .

i

j

k

Векторное произведение двух векторов

a

b

[

a

,b

]

c

,

1)

i

j

k

,

j

k

i

,

k

i

j

;

с удовлетворяет условиям:

2)

a b b a ;

1) с a,

с

;

b

3)

(

)

;

b

b

a

c

a

c

c

2)

c

a

b

sin ;

4)

a

a

0 ;

b

b

3) a,b , c – правая тройка.

5)

Sпар ма

a

;

b

i

j

k

a

ax

ay

az

{cx ;cy ;cz

}

1

b

b

a

6)

S 2

a

b

;

ha

a

.

b

b

b

x

y

z

Смешанное произведение трёх векторов

1)

(знак произведения не

b

b

a

c

c

a

меняется при циклической перестановке);

2)

(знак произведения

b

b

(

)

(

)

a

c

a

c

b

b

b

a

c

a

c

a

c

меняется при перемене мест любых двух

векторов);

3)Vпар да

a

c

;

ax

ay

az

b

V ой пир ды

a b c

b

b

b

b

a

c

x

y

z

6

cx

cy

cz

4)

Hпар да

Vпар да

a b c

;

a b

Sпар ма

5)

a,

, c – компланарны a

c 0 .

b

b

32

Приложение 3

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение прямой

k tg – угловой ко-

эффициент прямой;

с угловым

коэффициентом

b – отрезок, отсекаемый

прямой на оси Oy .

y kx b

Общее уравнение

Нормаль

N

Ax By D 0

{A;B} .

N

Уравнение в отрезках

а, b – отрезки, которые

отсекает прямая на осях

x

y

координат Ox, Oy соот-

a b 1

ветственно.

Каноническое

уравнение

точка M0(x0;y0) ,

x x

0

y y

0

S

m

n

направляющий вектор

Параметрические

уравнения

M0

S {m;n} .

mt,

x x0

y y0

nt.

две точки

x x1

y y1

M1(x1;y1 ), M2(x2;y2 )

x2 x1

y2 y1

точку M0 и угловой

y y0 k(x x0 )

Уравнение прямой,

коэффициент k

проходящей через

точку M0 и нормаль

A(x x0 ) B(y y0 ) 0

N {A;B}

точку M0 и направ-

x x0

y y0

ляющий вектор

m

n

S {m;n}

33

Приложение 4

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Кривая 2-го порядка,

График кривой,

Характеристики

центр в точке C(x0 ;y0 )

где C(0; 0)

кривой

Окружность

● R – радиус

(x x0 )2 (y y0 )2 R2

окружности.

a b

● c

2

a

2

b

2

y b

● F1,2(x0

c;y0 ) – фо-

кусы лежат на бóльшей

F1

C

F2

оси, равной 2a ;

a

c

0

c

a x

● эксцентриситет

Эллипс

b

c

( 1).

a

(x x

)2

(y y

)2

b a

a

2 0

b

2 0

1

● c2 b2 a2

y b

● F1,2(x0 ;y0 c) – фо-

c F2

кусы лежат на бóльшей

a

C

a

x

оси, равной 2b ;

0

● эксцентриситет

c F1

c

( 1).

b

b

34

Продолжение приложения 4

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Кривая 2-го порядка,

График кривой,

Характеристики

центр в точке C(x0 ;y0 )

где C(0; 0)

кривой

y

● c2 b2 a2 ;

асимптоты

F1

b

F2

● A1,2(x0

a;y0 ) –

C

Гипербола

вершины;

c

a

b

a c

x

(x x0 )2

(y y0 )2

● F1,2(x0

c;y0 ) – фо-

1

кусы лежат на действи-

a2

b2

асимптоты:

тельной оси x x0 ;

● эксцентриситет

b

y y0

(x x0 )

c ( 1).

a

a

● c2 b2

a2 ;

Гипербола

(y y0 )2 (x x0 )2 1 b2 a2

асимптоты

●B1,2(x0 ;y0 b) –

вершины;

●F1,2(x0 ;y0 c) – фо-

кусы лежат на действительной оси y y0 ;

●эксцентриситет

cb ( 1).

35

Продолжение приложения 4

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Кривая 2-го порядка, центр в точке C(x0 ;y0 )

Парабола

(y y0 )2 2p(x x0 )

Парабола

(x x0 )2 2p(y y0 )

График кривой,

где C(0; 0)

директриса	p 0

y p 0
p 2	F
директриса 0 C		x
p 2		d

Характеристики

кривой

● F(x0 p2 ;y0 ) –

фокус лежит “внутри” параболы на оси сим-

метрии y y0 ;

●эксцентриситет

1 ;

●директриса

d: x x0 p2 ;

●p 0 – “ветви” направлены вправо;

●p 0 – “ветви” направлены влево.

●F(x0 ; y0 p2) –

фокус лежит “внутри”

параболы на оси симметрии x x0

●эксцентриситет

1;

●директриса

d: y y0 p2 ;

●p 0 – “ветви” направлены вверх;

●p 0 , то “ветви” направлены вниз.

36

Приложение 5

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Плоскость в пространстве

Общее уравнение

{A;B;C}

Ax By Cz D 0

нормаль N

Уравнение в “отрезках”

a,b,c – отрезки, которые отсекает

x y z

1

плоскость на осях координат

Ox,Oy,Oz

a

b

c

расстояние от точки K(xK , yK , zK )

D(K, )

Ax

K

By

K

Cz

K

D

до плоскости

A2 B2 C 2

: Ax By Cz D 0

точку M0(x0;y0;z0)

A(x x0 ) B(y y0 )

C(z z0 ) 0

Уравнение

и нормаль N

{A;B;C }

плоскости,

три точки M1(x1;y1;z1),

x

x1

y y1

z z1

проходящей

M2(x2;y2;z2 )

через

x

2

x

1

y

2

y

z

2

z

1

0

1

и M3(x3;y3 ;z3 )

x3 x1

y3 y1

z3 z1

ПРЯМАЯ ℓ В ПРОСТРАНСТВЕ

Канонические уравнения

x x0

y y0

z z0

точка M0(x0 ;y0 ;z0 ) ,

m

n

p

x x0

m t,

направляющий вектор

Параметрические уравнения

y y0

n t,

S {m;n; p} .

z0

p t.

z

Пересечение двух плоскостей

S

{m;n; p} N1 N2

Точку M0(x0 ;y0 ; 0)

C1z

D1

0,

{A1;B1;C1}

находим из системы

N1

A1x B1y

C z

D

0.

B1y0 D1 0,

N {A ;B ;C }

A x B y

A1x0

2

2

2

2

2

2

2 2

B2y0 D2 0.

A2x0

точку M0(x0;y0;z0)

Уравнение

x x0

y y0

z z0

вдоль S {m;n; p}

m

прямой,

n

p

проходящей

две точки

x x1

y y1

z z1

через

M1(x1;y1;z1 ) и M2(x2;y2;z2 )

x1 x2

y1 y2

z1 z2

37

Приложение 6

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

(геометрическое место точек пространства, координаты которых в декартовой системе координат являются уравнениями второго порядка)

сфера

x2 y2 z2 R2

эллипсоид

	x2		y2		z 2	1
	a2		b2		c2

однополостный гиперболоид

	x2		y2		z 2	1
	a2		b2		c2

двуполостный гиперболоид

	x2		y2		z 2	1
	a2		b2		c2

38