4. Физические приложения определенного интеграла.

Пусть на плоскости Oxyдана система материальных точекс массами

Произведения иназываются статическими моментами массыотносительно осейи.

Обозначим икоординаты центра масс данной системы. Тогда, как известно из курса механики, координаты центра масс, описанной материальной системы определяются формулами

(17)

(18)

Мы используем эти формулы для отыскания центров масс различных фигур и тел.

Центр масс плоской линии.Пусть дана криваяABуравнением, и пусть эта кривая представляет собой материальную линию.

Предположим, что линейная плотность такой материальной кривой равна . Разобьем линию наnчастей длины. Массы этих частей будут равняться произведению их длин на плотность:. На каждой части дугивозьмем произвольную точку с абсциссой. Представляя каждую часть дугиматериальной точкойс массойи подставляя в формулы (17) и (18) вместозначение, вместозначение, а вместозначениеполучим приближенные формулы для определения центра масс дуги

,.

Если функция непрерывна и имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы приимеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм. Таким образом, координаты центра масс дуги выражаются определенными интегралами:

(*)

(**)

Пример 7. Найти координаты центра масс полуокружности , расположенной над осью.

Решение. Определим ординату центра масс:

(так как полуокружность симметрична относительно оси).

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните определение первообразной.

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.

Заключение.

На лекции рассмотрены вопросы по приложению определенного интеграла. В первом вопросе изложены приложения определенного интеграла по вычислению площадей в разных системах координат. Во втором вопросе изложено приложение определенного интеграла к вычислению длины дуги. В третьем вопросе лекции показано, как с помощью определенного интеграла вычислять объёмы тел и площади поверхностей вращения. В четвертом вопросе изложены физические приложения определенного интеграла. К практическому занятию необходимо изучить вопросы, изложенные на лекции.