2. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.

Пусть на отрезке , где b>a, задана функция. Выполним следующие четыре операции:

1. разобьем отрезок на части точкамиПоложим. Набор точек деленияназовем разбиением отрезка, а величину d –диаметром разбиения;

2. на каждом отрезке выберем какую-нибудь точку, вычислим значениев этой точке. Точкиназовем отмеченными точками;

3. умножим значение на длину соответствующего отрезкаи сложим все найденные произведения. Суммы вида

, где (4)

назовем (одномерными) интегральными суммами Римана для функции f по заданному разбиению отрезка;

4. измельчим разбиение , т.е. добавим новые точки деления и найдем предел интегральных сумм (4) при(если он существует).

Введем понятие предела интегральных сумм при.

Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм Римана при, если для любогосуществуеттакое, чтопри любом разбиенииотрезкас диаметром разбиениянезависимо от выбора отмеченных точек.

Принята следующая запись этого определения: .

Замечание. Очевидно, что число I не зависит от разбиения отрезка и от выбора отмеченных точек .

Определение 2. Если интегральные суммы Римана (4) имеют предел при , то этот предел называется определенным (однократным) интегралом от функции f по отрезкуи обозначается.

Итак, по определению имеем

(5)

В этом случае функцию f называют интегрируемой по Риману на отрезке . Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию f – подынтегральной функцией, а выражение- подынтегральным выражением.

Замечания:

1. Определение 2 можно кратко сформулировать так: определенным интегралом от заданной функции по заданному отрезку называется предел интегральных сумм Римана для заданной функции при стремлении к нулю диаметров разбиений отрезков, порождающих интегральные суммы.

2. Так как другие интегралы мы не рассматриваем, то вместо термина “интеграл Римана” будем просто употреблять интеграл.

В приведенных выше определениях существенно предполагалось, что .

Обобщим понятие определенного интеграла на случай и.

3. Основные свойства определенного интеграла.

При по определения полагаем

(6)

Равенство (6) означает, что при перемене пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный.

При по определению полагаем

(7)

Равенство (7) означает, что определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю.

Так как интегральная сумма (4) не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции, то и ее предел, т.е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

Приведем условия, при которых функция является интегрируемой.

Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости).

Если функция f интегрируема на отрезке , то она ограничена на

этом отрезке.

Доказательство. Допустим, что интегрируемая на функция не ограничена на нем. Тогда при любом разбиенииона окажется неограниченной по крайней мере на одном из отрезковразбиения. В этом случае, выбирая различными способами точку, можно сделать произведениесколь угодно большим. Значит интегральные суммы становятся сколь угодно большими за счет только выбора точеки не могут стремиться ни к какому пределу при. Следовательно, f не ин6тегрируема на. Из полученного противоречия и вытекает доказательство теоремы.

Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости). Непрерывная на отрезке функция f интегрируема на этом отрезке.

Замечание. Свойство непрерывности функции является лишь достаточным условием ее интегрируемости. Иными словами могут существовать разрывные на , но интегрируемые на этом отрезке функции.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Так как функция непрерывна на, то в силу теоремы 2 искомый интеграл существует. Вычислим его по формуле (5). Разобьем отрезок интегрированияна n равных частей и построим n полос одинаковой ширины. Абсциссы точек разбиения таковы:В качестве отмеченной точкивыберем левый конецоснования k- ой полосы. Составим интегральную сумму Римана:

так как выражение в скобках есть сумма n членов геометрической прогрессии со знаменателем которая равна. Используя формулу (5), находим

.

Поскольку имеем

.

На основании правила Лопиталя получим

Следовательно, .

Этот пример показывает, что вычисление интеграла по формуле (5) громоздко и вызывает значительные трудности. Поэтому нам необходимо получить эффективный метод вычисления определенного интеграла. Такой метод будет изложен позже; он является следствием связи между определенными и неопределенными интегралами, открытой Ньютоном и Лейбницем.

Вернемся к задаче о площади криволинейной трапеции. Так как правая часть равенства (2) есть интегральная сумма Римана, то учитывая формулу (5), получаем: если f(x) интегрируема и неотрицательна на , то определенный интеграл f(x) по отрезкуравен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями(геометрический смысл определенного интеграла в случае неотрицательности подынтегральной функции). Если подынтегральная функция отрицательная или меняет знак на, то в интегральной сумме (2) некоторые члены будут иметь знак минус. Тогда предел интегральной суммы, то есть определенный интеграл, будет равен алгебраической сумме площадей частей криволинейной трапеции, причем площади частей, лежащих выше оси Ox, берутся со знаком плюс, а площади частей, лежащих ниже оси Ox, - со знаком минус.

Перейдем теперь к задаче о пройденном пути. Так как правая часть формулы (3) есть интегральная сумма, то в силу формулы (5), получаем: если скорость v(t) непрерывна и положительна на , то определенный интеграл от скорости v(t) по отрезку времениравен пути, пройденному точкой от момента t=a до момента t=b (механический смысл определенного интеграла).

Пример. Вычислить , где

Решение. Построим график подынтегральной функции. В силу геометрического определенного интеграла имеем , где S – площадь прямоугольного треугольника ABC. Так както

Перечислим свойства, выраженные равенствами и неравенствами.

1) Если подынтегральная функция равна единице, то

(8)

Доказательство. Составим интегральную сумму; имеем . Переходя к пределу при, получаем равенство (8).

2) Если A – некоторое число и функция f(x) интегрируема на , то

(9)

Доказательство. Составим интегральную сумму для функции Af(x); имеем . Переходя к пределу при, получаем равенство (9).

3) Если и- две интегрируемые функции, определенные на отрезке, то

(10)

т.е. интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций. (Свойство 3) очевидным образом распространяется на сумму любого числа интегрируемых функций)

Доказательство. Составим интегральную сумму

(11)

4) Аддитивность интеграла как функции отрезка интегрирования. Если интегрируема на отрезке, то

(12)

т.е. если отрезок разделен на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точкуc в число точек деления. Если , то

Каждая из написанных выше сумм является интегральной соответственно для отрезков ,и. Переходя к пределу при, получаем равенство (12).

5) Если интегрируема на отрезкеи еслиa, b, c – точки этого отрезка, то

(13)

Доказательство. Если из точек a, b и c то крайней мере две совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть все эти точки различны. Если a<b<c, то равенство справедливо на основании свойства 4). Если же c<b<a, то

, откуда. Домножая на (-1) и меняя пределы интегрирования в третьем интеграле, получаем формулу (13). Другие случаи взаимного расположения точек можно свести к свойству 4).

6) Монотонность. Если функции иинтегрируемы и удовлетворяют условиюи нижний предел интеграла не больше верхнего, то

(14)

Доказательство. При a=bравенство (14) очевидно. Если жеa<b, то справедливо неравенство. Переходя к пределу при, получим требуемое неравенство.

7) Оценка определенного интеграла. Если интегрируема на отрезкеи нижний предел интеграла не больше верхнего иf(x) удовлетворяет условию, то

(15)

В частности, если , то

Свойство 7) имеет простой геометрический смысл: в случае, если подынтегральная функция неотрицательна на , то площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с высотойm, но меньше площади прямоугольника с высотойM.

8) Теорема о среднем значении. Если интегрируема на отрезкеиf(x) удовлетворяет условию, тогда существует такое число, что

(16)

Доказательство. Если a=bтогда равенство (16) очевидно. Если, то положим

(17)

Тогда из неравенств (15) вытекает, что , еслиa<b. Так как обе части равенства (16) изменяют знаки при перестановке пределовaиb, то оно справедливо и приb<a. Число, определяемое равенством (17), называетсясредним значениемфункцииfна отрезке.

Из свойства 8) вытекает следующее свойство.

9) Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то найдется значениетакое, что

(18)

Для доказательства достаточно взять .

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните определение первообразной.

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.