4. Таблица основных формул интегрирования.
Для выработки умения интегрировать необходимо знать следующие формулы:
1.
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
12.
13
Замечания:
Проверка каждой из формул осуществляется непосредственным дифференцированием.
Формула (2) верна при
.В формуле (10) a>0.
В формулах (11) и (12) подразумевается
.Вся таблица выписана в предположении, что независимая переменная обозначена буквой x.
Непосредственное интегрирование. Примеры.
При интегрировании нам придется пользоваться следующими теоремами, которые мы сейчас сформулируем.
Теорема. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.
Доказательство. Чтобы убедится в справедливости формулы (3), продифференцируем правую часть этого равенства. Но указанная правая часть представляет собой алгебраическую сумму нескольких слагаемых. Поэтому в результате дифференцирования получим
По теореме о дифференцировании интеграла имеем
То есть
Итак, дифференцирование правой части в (3) приводит к подынтегральной функции этого равенства. Что и требовалось доказать.
Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Доказательство вполне аналогично предыдущему. Именно, положив
имеем последовательно
чем и доказана теорема.
ПРИМЕРЫ.
1)
Все три интеграла табличные. Значит
или
Заметим, что обычно при вычислении отдельных интегралов, входящих в правую часть соотношения, произвольных постоянных не вводят, а приписывают одну постоянную в конце всей выкладки.
2)
3)
Позже мы узнаем простой способ вычисления данного интеграла, а сейчас нам придется прибегнуть к искусственному приему
Дальнейшее просто
Контрольные вопросы по теме занятия:
Напомните определение первообразной
Дайте определение неопределенного интеграла.
Как производится непосредственное интегрирование.
Заключение.
В лекции рассмотрены вопросы, посвященные методам интегрирования. В первом вопросе рассмотрен вопрос о первообразной, неопределенном интеграле и его свойствах. Во втором вопросе рассмотрен метод интегрирования подстановкой. В третьем вопросе – интегрирования по частям. Четвертый вопрос посвящен основным формулам интегрирования.