Сравнение бесконечно-малых функций. Эквивалентные бесконечно-малые функции.

Известно, что сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются также бесконечно малыми функциями. При вычислении предела частного двух бесконечно малых функций могут возникнуть самые разнообразные случаи.

Рассмотрим простейший пример. Пусть - две бесконечно малые функции в точкех=0. Имеем:

С помощью действия деления можно сравнить между собой две бесконечно малые при функции, то есть найти предел их отношения при.

Определение.БМФназывается бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая прифункция, если.

Замечание.В таких случаях пишут, что

при

и говорят, что «есть о малое от.»

Замечание.Еслине существует, то бесконечно малые прифункциииназываются несравнимыми.

Определение.Две бесконечно малые прифункциииимеют одинаковый порядок малости при, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть

().

В этом случае пишут

=О()

и говорят, что «есть О большое от.»

Определение.Если

,

то бесконечно малые при функциииназываются эквивалентными.

В этом случае пишут

при.

Свойства функций, имеющих предел.

Сформулируем некоторые свойства функций, имеющих предел. Основная теорема о бесконечно малых функциях также как и определение предела функции «на языке последовательностей» позволяют перенести теоремы о пределах последовательностей на функции.

Теорема 1. Пусть и- функции, для которых в точкесуществуют,. Тогда:

а) существует и

;

б) существует и

;

в частности, для всякой постоянной k

;

в) если , то существуети

.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х₀≤, то

.

Теорема 3.(Теорема о сжатой переменной). Если и выполняется неравенство, то

.

Если ,, томожет :

а) не существовать;

б) быть равным бесконечности;

в) быть равным конечному числу, отличному от нуля;

г) быть равным нулю.

В этом случае говорят о раскрытии неопределенности вида .

Замечание.Следует выделить отдельно задачу о вычислении пределапри условии,. В этом случае говорят о раскрытии неопределенности вида.

Для вычисления пределов функций применяется правило предельного перехода:

чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Способы вычисления пределов.

1. Непосредственная подстановка.

Пример..

2. Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа раскрываются:

1. разложением на множители и сокращением:

Пример.;

2. переводом иррациональности из числителя в знаменатель и наоборот, домножением на сопряженный множитель:

Пример.

;

Пример.

.

Имеем неопределенность вида . Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

.

Получили неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель наи так как при, получим.