Вопрос 8
Принцип относительности в классической механике. Закон всемирного тяготения Ньютона.
Закон всемирного тяготения Ньютона.
Одно из величайших достоинств механики Ньютона была ее способность правильно описать движение планет в Солнечной системе под действием гравитационной силы. Закон всемирного тяготения имеет вид
=
,
G –постоянная, одинаковая для всех тел во Вселенной. Ньютон сделал предположение, что сила F действует мгновенно через пустое пространство, разделяющее тела. Поэтому теория Ньютона является теорией мгновенного действия на расстоянии (теорией дальнодействия). Понятие мгновенности строго определено в ньютоновской модели времени, т.к. там существует однозначное понятие одновременности даже для точек, удаленных друг от друга на расстоянии r.
Связав закон тяготения со вторым законом, Ньютон показал, что орбита движения планет вокруг Солнца должна быть эллипсом.
Для классической механики и механистической картины мира в целом характерна симметрия пространства во времени, которая выражается в обратимости времени. Это означает, что задав уравнение движения тела, его координату и скорость в некоторый момент времени, называемый часто начальным, мы можем точно и однозначно определить его состояние в любой другой момент времени в будущем и прошлом.
Вопрос 9
Преобразования Галилея и Лоренца. Пространство и время в теории относительности.
Преобразования Галилея и Лоренца.
Удивительные следствия принципа постоянства скорости света часто иллюстрируют на примере пассажира, который едет в вагоне сверхбыстрого поезда.
Наблюдатель в вагоне имеет лампу, установленную в середине вагона. Для наблюдателя А, движущегося вместе с вагоном, видно, что оба сигнала выходят из середины вагона и распространяются в обе стороны, достигая обоих концов в один и тот же момент. Скорость света одинакова для лучей. Расстояния, ими проходимые, также одинаковы. Наблюдатель В должен увидеть левый сигнал быстрее, чем правый, т.к. вагон перемещается слева направо. Для него оба сигнала приходят не одновременно, а с некоторой разностью во времени. Кто прав? Согласно теории относительности, оба заключения правильны. Одновременность двух пространственно разделенных событий не является абсолютным свойством самих событий, а лишь следствие их способа рассмотрения.
Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять преобразования пространственных координат и времени при переходе из одной системы отсчета к другой. Если принять предположение классической механики об абсолютном характере расстояний и длин, то уравнения будут иметь вид:
Эти уравнения называются преобразованиями Галилея.
Если же преобразования должны удовлетворять также требованию постоянства скорости света, то они описываются уравнениями Лоренца. Если система отсчета движется вдоль оси X, то координаты и время в движущейся системе выражаются уравнениями:
.
Движущаяся линейка
будет короче покоящейся, и тем короче,
чем быстрее она движется. Пусть начало
линейки находится в начале координат,
и ее абсцисса 
,
а конец 
(в движущейся системе). В неподвижной
системе
,
,
Т.е.
длина линейки в неподвижной системе
составит 
длины в движущейся системе.
Интервал времени между двумя событиями в двух системах отсчета будет разным (x=0)
.
Из уравнений следует, что вследствие движения наблюдателей друг относительно друга они, измеряя интервалы времени между двумя данными событиями, получают разные результаты.
Если V<<с, то уравнения Лоренца переходят в уравнения мы встречаемся со скоростями, значительно меньшими скорости света, поэтому изменения, которые требует вносить теория относительности, крайне незначительны. Например, даже для ракеты, летящей со скоростью 50 000 км/ч,v/c= 5٠10-5
Эффект замедления времени на движущейся ракете является свойством пространства и времени. Наблюдатель на ракете ничего странного не замечает. Представляет интерес «парадокс близнецов» для иллюстрации эффектов теории относительности. Один «близнец» отправляется в космическое путешествие, другой остается на Земле. В равномерно движущемся с огромной скоростью космическом корабле темп времени замедляется, все процессы происходят медленнее. Космонавт, вернувшись, оказывается более молодым, чем оставшийся на Земле.
Другой пример – наблюдения над элементарными частицами, названными µ-мезонами (мюонами). Средняя продолжительность существования таких частиц – 2 мкс, некоторые из них, образуясь на высоте 10 км, долетают до поверхности Земли. Хотя при средней «жизни» в 2 мкс они могут проделать путь только 600 м. Продолжительность существования мюонов определяется по-разному для разных систем отсчета. С «их» точки отчета, они живут 2 мкс, с нашей, земной – значительно больше.
Пространство-время на самом деле не плоское, а искривленное (подобно сфере, на поверхности которой правила евклидовой геометрии не применимы). Согласно ОТО, тела всегда движутся по инерции, независимо от наличия или отсутствия поля тяготения. Движение по инерции – движение по геодезической линии (т.е по кратчайшему расстоянию). Если тело движется вне поля тяготения, там пространство однородно и изотропно, геодезическая линия – прямая линия. Если тело движется в поле тяготения, то геодезическая линия – это не прямая, а какая-то линия, зависящая от свойств поля тяготения. Земля обращается вокруг Солнца потому, что присутствие Солнца искривило пространство – время настолько, что траекторией стал эллипс. С другой стороны, гравитационное взаимодействие можно рассматривать как результат искривления пространства-времени вокруг материальных тел, т.е. геометрия пространства-времени влияет на характер движения тел.
Основываясь на этих соображениях, Эйнштейну удалось сформулировать релятивистскую теорию тяготения (другое название ОТО), из которой вытекает закон тяготения Ньютона как предельный случай для слабых полей при медленных движениях взаимодействующих тел (проявление принципа соответствия). Принцип относительности приобрел новое звучание:
Все механические явления во всех системах отсчета происходят одинаковым образом.
Благодаря новому взгляду, были обнаружены эффекты, которые не были известны в теории Ньютона:
планеты движутся не по эллипсам, а по незамкнутым кривым, которые можно представить как эллипс, ось которого поворачивается в плоскости орбиты (наблюдается в частности у Меркурия – 43” за столетие;
искривление световых лучей в поле тяготения;
замедление времени в поле тяготения.
Эйнштейн связал геометрические свойства искривленного пространства и физические свойства тяготения. При наличии гравитации пространство-время перестает быть плоским, подчиняться правилам евклидовой геометрии и обладает более или менее сложной геометрической структурой, в частности кривизной. Необходима иная система, в которой используются гауссовы координаты. Геометрия переменной кривизны была создана Б. Риманом. Эйнштейн получил систему математических уравнений, которые описывают, как именно какой-либо источник тяготения искривляет пространство.
У Ньютона источником гравитации является масса. Но в теории относительности она связана с энергией, а энергия – с импульсом. Импульс тесно связан с механическим натяжением и давлением. Теория относительности Эйнштейна учитывает, что все эти физические величины могут порождать гравитацию. Проанализировав, как связаны между собой натяжение, энергия и импульс, Эйнштейн сумел отыскать геометрические величины, описывающие кривизну пространства-времени и связанные между собой точно таким же образом. Приравняв физические и геометрические величины, Эйнштейн пришел к уравнениям гравитационного поля. Уравнения детально описывают, как любое конкретное распределение натяжений-энергии-импульса искажают структуру пространства-времени в окрестности этого распределения.
Уравнения гравитационного поля исключительно сложны. В 1916 г. было найдено одно из простейших и точных решений, которое соответствует пустому пространству – времени вокруг сферического тела. Оно получено астрономом Карлом Шварцшильдом. Система представляет модель Солнечной системы: центральная масса соответствует Солнцу, пустота - пространству, в котором движутся планеты. Относительное замедление времени у поверхности Земли составляет около 10-18 на 1 см при подъеме по вертикали.