Математика.контрольная 2 Уч.пособие. 2 семестр

v′ +		1	v = 0
		x
				e	x
	u′v =
					.
				x

Первое уравнение

перепишем

в виде

dv

= −

dx

. Интегрируем его

v

x

∫

dv

= −∫

dx

,

ln

v

= − ln

x

. Откуда v =

1

. Из второго уравнения сис-

v

x

u′

1

ex

du

x

темы найдем

u :

=

,

= ex ,

du = ex dx,

∫ du = ∫ ex dx,

x x

dx

u = ex + C.

Таким образом,

y = (ex + C)

1

.

x

Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения типа

y′′ =

f (x)

(9)

решаются последовательным интегрированием

y′ = ∫ y′′dx,

y = ∫ y′dx.

П р и м е р. Решить уравнение

y′′ = sin x.

Решение.

Интегрируя, получим y′ = ∫sin xdx ,

y′ = − cos x + C1 ;

y = −∫ cos xdx + ∫C1dx ,

y = − sin x + C1x + C2 .

Уравнения не содержащие явно искомую функцию y

y′′ =

f (x, y′) ,

(10)

Подстановка

y′ = z(x) ,

y′′ = z′(x)

приводит это уравнение к

уравнению первого порядка относительно функции z(x) :

z′ = f (x, y).

21

Решая это уравнение, находим функцию z(x, c1 ) , а затем и y(x) : y = ∫ z(x, c1 )dx.

П р и м е р. Решить уравнение x3 y′′ + x2 y′ = 1. Решение. Вводим новую функцию z = y′ , тогда y′′ = z′ .

Подставив ее в уравнение, имеем x3 z′ + x2 z = 1 .

Это линейное уравнение первого порядка относительно z и его решение разыскиваем в виде произведения z = uv :

x3 (u′v + uv′) + x2uv = 1.

Учитывая

требования

u(x3v′ + x2v) = 0, u(x) ¹ 0, находим

функцию

v(x) :

∫

dv

= −∫

dx

,

v =

1

. Подставляем в уравнение для определе-

v

x

x

ния u(x) :

x3u′

1

= 1.

x

Отсюда

∫

du =

dx

,

u = −

1

+ C .

x

∫ x2

1

Таким образом,

z =

C1

−

1

, и можно найти функцию y :

x2

x

y = C

dx

−

dx

, y = C ln

x

+

1

+ C .

∫

∫ x2

1

x

1

x

2

Уравнение, не содержащее явно независимую переменную х

y′′ = f ( y, y′).

(11)

Для его решения положим y′ = p( y). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, получим

y′′ = d 2 y = dp = dp dy = dp p. dx2 dx dy dx dy

Подставляя y′ и y′′ в данное уравнение, получим уравнение первого порядка для вспомогательной функции p( y) :

pdp = f ( y, p). dy

Решая его, найдем p как функцию у и постоянной C1 : p = p( y, C1), а

22

затем найдем и y(x)

из соотношения y′ = p :

∫

dy

=

∫ dx.

p( y, C )

1

П р и м е р. Найти решение задачи Коши: 4 y′′

= 1,

y

y(0) = 1,

y′(0) = −1.

y′ = p( y),

Решение. Это уравнение не

содержит x .

Делая замену

y′′ = p

dp

и подставляя в уравнение, получим

dy

4 p

dp

= 1, 4

∫

pdp =

∫

dy

,

2 p2 = 2

+ 2C ,

p2 =

+ C .

y

y

y

dy

y

1

1

Подставляя

начальные

данные

y(0) = 1,

y′(0) = p(1) = −1,

найдем

C1 = 0.

Поскольку y′(0) = −1,

то p = −4

. Имеем

dy

= −4

y

y ;

dx

∫ 4 y

∫

3

dy

= −

dx;

4

4

y3 = −x + C

.

Подставляя

x

= 0,

y(0) = 1, полу-

2

0

=

4

y = (1 −

3

4

чим C2

.

После чего найдем:

x) 3 .

3

4

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y′′ + py′ + qy = f (x),

(12)

где f (x) ¹ 0. Если f (x) = 0 , то уравнение называется однородным.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного линейного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

yон = yoo + yчн ,

23

где уон - общее решение неоднородного уравнения; yчн - его частное решение; yoo − общее решение соответствующего однородного урав-

нения.

Рассмотрим однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

	y′′ + py′ + qy = 0 .	(13)
Его характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 может иметь
1)	два различных действительных корня	k1 , k2 (k1 ¹ k2 );
2)	действительный кратный корень кратности два k1 = k2 = k;
3)	два комплексно-сопряженных корня	k1,2 = a ± ib.

В зависимости от вида корней, в первом случае частным решением однородного уравнения будут функции y1 = ek1 x и y2 = ek 2 x , а общее решение запишется в виде

yoo = C1ek1x + C2ek2 x .

Во втором случае (действительный корень кратности 2) частными ли- нейно-независимыми решениями однородного уравнения будут функ-

ции y1 = ek1 x и y2 = xek 2 x , а общее решение запишется как

yoo = C1ekx + C2 xekx .

В случае комплексных корней ( k1,2 = a ± ib. ):

y1 = eαx cosbx, y2 = eαx sin bx; yoo = C1eαx cos bx + C2eαx sin bx.

П р и м е р. Найти общее решение уравнения y′′ - 4 y′ + 7 y = 0.

Решение.	Характеристическое уравнение k 2 - 4k + 7 = 0 имеет корни
k1 = 2 +			k2 = 2 -		i.				комплексные,	комплексно-
	3i,			3		Корни
сопряженные,			причем a = 2,			b =			Следовательно,
							3.			общее решение

имеет вид yoo = C1e2 x cos 3x + C2e2 x sin 3x.

П р и м е р. Найти общее решение уравнения y′′ + 2 y′ -15 y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение k 2 + 2k -15 = 0

24

имеет				два различных	действительных корня k1 = 3, k2 = −5,
(k	1	¹ k	2	). Следовательно,	y	= C e3t + C		e−5t .
					oo	1	2

П р и м е р. Найти общее решение уравнения y′′ − 6 y′ + 9 y = 0. Решение. Характеристическое уравнение k 2 − 6k + 9 = 0 запишем в виде (k − 3)2 = 0. Отсюда следует, что оно имеет один действительный корень кратности 2: k1 = k2 = 3, и общее решение уравнения yoo запи-

шется как yoo = C1e3x + C2 xe3x .

Если в уравнении (12) с постоянными коэффициентами функция имеет вид

f (x) = eαx (P (x) cos βx + Q (x) sin βx),		(14)
n	m

то это уравнение называется неоднородным со специальной правой частью.

Здесь Pn (x) и Qm (x) – многочлены порядка n и m соответственно. Ча-

стное решение неоднородного уравнения ищется точно в таком же виде:

yчн = eαx (Us (x) cos βx + Vs (x) sin βx)xr ,

но функции Us (x) и Vs (x) – это многочлены с неопределенными коэффициентами порядка l = max(n, m) и, следовательно, содержат все

степени x не меньше чем l.

Кроме того, показатель степени r называемый кратностью, равен количеству корней характеристического уравнения, совпадающих с числом

α + βi.

П р и м е р. Найти общее решение неоднородного уравнения

4 y′′ − 4 y′ − 3y = sin 2x .

Решение. Рассмотрим однородное уравнение

4 y′′ − 4 y′ − 3y = 0.

Его характеристическое уравнение 4k 2 − 4k − 3 = 0 имеет корни

k = −	1	,	k		=	3	.
				2
1	2				2

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y = C e−	1	x + C	3		x .
	2		e	4
oo 1	2

25

Так как α = 0, β = 2, m = 0, n = 0, то yчн = Asin 2x + B cos 2x.

Кратность r = 0 в силу того что a + bi = 2i ¹ k1 ¹ k2 . Для определения

коэффициентов	A	и	B	подставим	частное	реше-
ние yчн = A sin 2x + B cos 2x			в исходное уравнение:

4(−4 Asin 2x − 4B cos 2x) − 4(2 A cos 2x − 2B sin 2x) −

- 3( Asin 2x + B cos 2x) = sin 2x.

Равенство можно преобразовать к виду

(−19 A + 8B) sin 2x + (−19B − 8A) cos 2x = sin 2x.

Так как мы требуем, чтобы функция A sin 2x + B cos 2x была решением уравнения, то равенство должно выполняться тождественно. Следовательно, коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства должны быть равны:

-19 A + 8B = 1
		-19B = 0
- 8A
Решая		систему				уравнений, определим	коэффициенты A, B :
A = -	19		, B =	8		. Следовательно, частное	решение неоднородного
				361
361

уравнения и общее решение неоднородного уравнения будут иметь вид:

	yчн		=	8	cos 2x -							19		sin 2x,
			361							361
					1					3
	y		= C e−				x	+ C		e			x +		8	cos 2x -		19	sin 2x.
		он				2			2		2
			1												361		361
	П р и м е р. Найти частное решение неоднородного
	уравнения							y¢¢ - 3y¢ = 2x2 ,									удовлетворяющее начальным условиям
	y(0) = 0,							′	=1.
							y (0)

Решение. Найдем общее решение уравнения y¢¢ - 3y¢ = 2x2 . Характери-

стическое уравнение k 2 - 3k = 0 соответствующего однородного уравнения имеет корни k1 = 0, k2 = 3 и общее решение однородного урав-

нения имеет вид yoo = C1 + C2e3x .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

26

yчн = ( Аx2 + Bx + C)x

( r = 1 так как характеристическое уравнение имеет корень k1 = 0, совпадающий с числом α + βi = 0 + 0i = 0 ).

Коэффициенты A, B, C определим, подставляя решение в исходное уравнение:

(6 Ax + 2B) − 3(3Ax2 + 2Bx + C) = 2x2 ,

− 9 Ax2 + (6 A − 6B)x + 2B − 3C = 2x2 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества, получим систему уравнений для определения

A, B, C :

− 9 A = 2

6 A − 6B = 0

2B − 3C = 0

Решая ее, найдем A, B, C : A = −	2	, B = −	2	, C = −	4	.
9		9		27

Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

y		= C + C		e3x − (	2	x2	+	2	x +	4	)x.
	он
		1	2	3			9		27

Чтобы определить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши), найдем производную общего решения неоднородного уравнения

y′	= C	e3x −	2	x2	−	4	x −	4	.
он	2	3			9		27

Подставляя в найденное решение и его производную начальные условия, получим систему уравнений для определения коэффициентов C1 и

	C2 :
	C1 + C2 = 0,
			4
		−		= 1.
	C2
			27

Решая ее, определим C ,	C		:	C = −	31	,	C		=	31	.
		2						2
1				1	27				27

27

Следовательно, искомое частное решение запишется в виде

y = 31 (e3x -1) - 2 x3 - 2 x2 - 4 x. 27 9 9 27

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Выражение u1 + u2 + ... + un + ... называется числовым рядом и

∞

обозначается ∑un .

n=1

Числа u1 , u2 ,..., un ,... называются членами ряда, n-й член ряда на-

зывается также общим членом ряда.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой

ряда

Sn = u1 + u2 + ... + un .

Если существует конечный предел lim Sn = S , то его называют

n→∞

суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Иначе ряд называют расхо-

дящимся и не имеющим суммы.
Необходимый признак сходимости ряда.	Если ряд
∞	lim un = 0
∑un сходится, то предел его общего члена равен нулю:
n=1	n→∞
(обратное утверждение не выполняется).
Отметим, если lim un ¹ 0 , то ряд расходится.
n→∞

Исследование числовых рядов на сходимость осуществляется с помощью достаточных признаков сходимости.

		∞	∞
1. Признак сравнения. Пусть даны ряды ∑un и			∑vn с по-
ложительными членами и un £ vn (n=1,2,…).		n=1	n=1
		Тогда из сходимости ряда
∞	∞		∞
∑vn следует сходимость ряда	∑un , а	из расходимости ряда∑un
n=1	n=1		n=1

∞

следует расходимость ряда ∑vn .

n=1

28

Сравнение исследуемых рядов обычно проводится с рядами:

∞

∑ aqn−1, a ¹ 0 (геометрическая прогрессия, сходящаяся при

q

< 1

n=1

³ 1),

и расходящаяся при

q

∞

1

∑

(расходящийся гармонический ряд),

n=1

n

∞

1

∑

(обобщенный гармонический ряд, сходящийся при p > 1 и

p

n=1

n

расходящийся при p ≤ 1 ).

∞

Признак Даламбера. Пусть дан ряд ∑un с положительны-

n=1

ми членами и существует предел lim

un+1

= D . Тогда при

D < 1 ряд

n→∞ u

n

сходится, а при D > 1 расходится. При D = 1 признак не отвечает на

вопрос о сходимости.

∞

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд ∑un

с по-

n=1

ложительными членами и существует предел lim n

= C .

Тогда при

un

n→∞

C < 1 ряд сходится, а при C > 1 расходится. При C = 1 признак не от-

вечает на вопрос о сходимости.

∞

Интегральный признак Коши. Пусть дан ряд

∑un ,

n=1

члены которого являются значениями некоторой функции

f (x) при

целых значениях аргумента х, положительной, непрерывной и убывающей в интервале (1; +¥):

u1	= f (1), u2	= f (2), ..., un	= f (n), ...
Тогда ряд	сходится,	если сходится	несобственный интеграл
+∞

∫ f (x)dx , и расходится, если этот интеграл расходится.

1

Несобственный интеграл вычисляется следующим образом:

29

+∞	f (x)dx = lim	b
∫		∫ f (x)dx .
1	b→∞	1

Интегральный признак является универсальным, т.е. применим тогда, когда не применим ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши, но и наиболее трудоемки, так как доказательство сходимости интегралов часто технически сложно.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные так и отрицательные.

В знакочередующемся ряде члены поочередно то положительны, то отрицательны, т.е.

u − u	2	+ u − ... + (−1)n+1 u	n	+ ... ,	(u	n	> 0) .
1		3

∞

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд ∑(−1)n+1 un схо-

n=1

дится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, т.е.

un+1	< un	, и общий член ряда стремится к нулю: lim un = 0 .
		n→∞

Знакопеременный ряд u1 + u2 + ... + un + ... называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов u1 + u2 + ... + un + ... .

Если ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный знакопеременный ряд сходится условно.

П р и м е р ы исследований на сходимость числовых рядов.

∞

n

2

1. ∑

.

n=1

2n 2 + 1

Заметим, что lim u

= lim

n2

= lim

1

=

1

.

+ 1/ n2

n→∞

n

n→∞ 2n2 + 1

n→∞ 2

2

Необходимое условие сходимости не выполняется. Ряд расходится.

∞n + 1

2.∑=1 n 2 + 1 .n

∞ 1

Сравниваем с гармоническим рядом ∑ .

n=1 n

30