Математика.контрольная 2 Уч.пособие. 2 семестр

n

+ 1

1

∞

1

Так как

³

для всех n и ряд ∑

расходится, то по при-

2

n

+ 1

n

n=1

n

знаку сравнения исходный ряд расходится.

∞

2

n

3.

∑

.

n=1

n!

Применим признак Даламбера:

lim

un+1

= lim

2n+1

:

n!

= 2 lim

1

= 0 < 1 .

Ряд сходится.

n→∞ un

n→∞ (n +1)!

2n

n→∞ n +1

∞

n

4.

∑

2

.

n

n

n=1 ln

Применим радикальный признак Коши:

= lim n

2n

= lim

2

= 0 < 1. Ряд сходится.

lim n u

n

lnn n

n→∞

n→∞

n→∞ ln n

∞

1

5.

∑

.

n=2 n ln n

Применим интегральный признак Коши.

Так как f(n)=1/(n ln n), то функцией, принимающей в точках х=n значения f(n), будет функция f(х)=1/(х ln х). Она непрерывна в промежутке 2 ≤ x < ∞ и монотонно в нем убывает.

Вычислим интеграл

	∞	∞	dx		b	d ln x
	∫ f (x)dx =∫			= lim	∫		= limln ln x		b2	= lim(ln ln b − ln ln 2) = ∞ .
	2	2	x ln x	b→∞	2	ln x b→∞				b→∞

∞

Интеграл ∫ f (x)dx расходится. Из его расходимости следует рас-

2

ходимость данного ряда.

∞	(-1)	n	n
6. ∑				.
n=1	n 2 + 1

Это знакочередующийся ряд. Применим теорему Лейбница.

31

1) Покажем, что члены ряда монотонно убывают, т.е. выполняет-

ся условие un+1 < un .

n + 1

<

n

, n =1,2,3,... .

(n + 1)

2

+

n

2

+

1

1

Это неравенство равносильно неравенству

n + 1

<

(n + 1) 2

+ 1

или

n

n 2 +

1

n 2 + n -1 > 0 .Последнее неравенство справедливо для всех n.

2) Покажем, что lim un

= 0 . Имеем

n→∞

lim u

= lim

n

= lim

1/ n

= 0 .

n

+1/ n2

n→∞

n→∞ n2 +1

n→∞ 1

Условия теоремы Лейбница выполняются. Данный знакопеременный ряд сходится.

∞

n

Исследуем сходимость ряда

∑

.

2

n=1

n

+ 1

Применим интегральный признак Коши

∞

∞

xdx

1

b d (x2 + 1)

1

2

b

∫

f (x)dx =∫

=

lim

∫

=

limln(x

+ 1)

=

2

+ 1

2

+ 1

1

1

x

2 b→∞

21

x

2 b→∞

1

=1 lim(ln(b 2 + 1) − ln 2) = ∞.

2 b→∞

Несобственный интеграл расходится. Ряд, составленный из абсолютных величин, расходится.

Следовательно, знакопеременный ряд сходится условно.

Степенным рядом называется функциональный ряд

∞

a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ... = ∑ an xn ,

n=0

где a1 , a2 , ..., an , ... – постоянные, называемые коэффициентами ряда. Степенной ряд всегда сходится, по крайней мере при х = 0.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0 , то он сходится и притом абсолютно для всех значений х, удовлетворяющих неравенству x < x0 . Если ряд расходится при x = x1 , то он

расходится при любых х, удовлетворяющих неравенству x > x1 .

32

Из теоремы Абеля следует, что существует симметричный интервал − R < x < R , для всех точек которого ряд сходится, а для всех точек вне интервала ряд расходится. Этот интервал называется интервалом сходимости, число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости можно вычислить по одной их формул:

R = lim		an		или R = lim			1			.
n→∞	a		n 1	n→∞ n			a
			+					n

Точки x = −R и x = R также могут быть точками сходимости степенного ряда, поэтому в этих точках проводят дополнительное исследование.

∞

n

П р и м е р. Найти интервал сходимости степенного ряда ∑

x

.

2

Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

n=1 n

Воспользуемся

признаком

Даламбера

R = lim

an

. an = 1/ n 2 ,

an+1

n→∞

2

an

(n + 1) 2

1

2

an+1 = 1/(n + 1)

.

R = lim

= lim

= lim 1

+

= 1.

an+1

n

2

n→∞

n→∞

n→∞

n

Следовательно, ряд сходится в интервале (–1;1).

Проверим схо-

димость в граничных точках х = – 1 и х = 1.

∞

(−1) n

При х = – 1 имеем знакочередующийся ряд ∑

, который

сходится по теореме Лейбница.

n=1

n 2

∞

1

При х = 1 имеем ряд ∑

, сходимость которого устанавлива-

2

n=1

n

ется с помощью интегрального признака Коши. Таким образом, область сходимости [–1;1].

33

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А.

Математический анализ в вопросах и задачах. М., Наука, Физматлит, 2000.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заля-

пин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т.1 - Т.6. Издательство УРСС, 2002.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. т. 1, 2. Альфа, 1998, Физматлит, 2005.

Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высш. школа. 2002.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1.: М. Высш. школа. 1996.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике в 2-х

ч. Ч. 1-2 - М. Айрис-пресс. 2009.

Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике: С контрольными работами. - М. Айрис-пресс,

2009.

34

Учебное издание

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов всех направлений квалификация (степень) «бакалавр» заочной формы обучения

Составители: РЯЖСКИХ ВИКТОР ИВАНОВИЧ САЙКО ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ ЧЕРНЫШОВ АЛЕКСАНДР ДАНИЛОВИЧ МИНАЕВА НАДЕЖДА ВИТАЛЬЕВНА БОГЕР АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ СУМИН ВИКТОР АЛЕКСАНДРОВИЧ КУЗНЕЦОВ СЕРГЕЙ ФЁДОРОВИЧ КОВАЛЁВА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА РЕЗЦОВ ОЛЕГ ПЕТРОВИЧ ПОЛОВИНКИНА МАРИНА ВАСИЛЬЕВНА НИКИФОРОВА ОЛЬГА ЮРЬЕВНА СОБОЛЕВА ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА РЯБОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

Подписано в печать 01.2012. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 150 экз. Заказ .С – 36.

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУ ВПО «ВГУИТ»)

Отдел оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «ВГУИТ» Адрес университета и отдела оперативной полиграфии:

394036 Воронеж, пр. Революции, 19.

35

36