3 Динамика

Тогда дифференциальное уравнение затухающих колебаний примет вид:

x 2 b x k2 x 0 .

(3.37)

Составим характеристическое уравнение и найдем его решение

2 2 b k2 0 , 1,2 -b b2 k2 .

(3.38)

Рассмотрим случай, когда сила сопротивления мала по сравнению с восстанавливающей силой, т.е. когда b < k. Обозна-

чим k1 k2 b2 , тогда 1,2 b i k1 , т.е. корни характеристического уравнения будут комплексными. В этом слу-

чае по аналогии с предыдущим запишем:

x a e-bt sin(k1t ) .

(3.39)

Таким образом при наличии сопротивления среды колебания под действием восстанавливающей силы будут затухающими (рис. 3.8)с периодом

T 2 k1 2

k2 b2 .

(3.40)

Амплитуда колебаний a и начальная фаза определяется по начальным условиям.

При большом сопротивлении среды, когда b > k, движение не будет колебательным (рис. 3.9).

Теория затухающих колебаний лежит в основе автоматического регулирования технологических процессов.

92

11.3. Вынужденные колебания
Очень важное значение в технике имеет теория вынужден-
ных колебаний.
Вынужденные колебания имеют место тогда, когда кроме
восстанавливающей силы на материальную точку действует пе-
риодически изменяющаяся по модулю сила.
Пусть модель этой силы имеет вид:
		Q Q0 sin(pt) ,
где Q0 – амплитудное значение возмущающей силы,
р – частота изменения возмущающей силы.
x				x
0		t
	T			0	t
Рис. 3.8.				Рис. 3.9.
В этом случае дифференциальное уравнение можно запи-
сать в следующем виде:
m x -c x Q0 sin(pt).
Обозначим		S Q0 , тогда		дифференциальное	уравнение
		m
вынужденных колебаний примет вид
x k2 x S sin(pt).					(3.41)
Решение	неоднородного		дифференциального		уравнения
второго порядка (3.41) состоит из общего решения соответству-
ющего однородного уравнения (см. выше) и какого-нибудь част-
ного решения неоднородного уравнения.
Будем искать частное решение в виде правой части:
x2 A sin(pt),		x2 A p cos(pt), x A p2 sin(pt). (3.42)
					93

Подставляя (3.42) в (3.41), получим:

- A p2 sin(pt) k2 A sin(pt) Ssin(pt),

S
A k2 p2 .
Таким образом, частное решение имеет вид:
x2 Q0	1	sin(pt)	(3.43)
m	k2 p2

Следовательно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения (3.41) запишется так:

	x a sin(kt )	Q0		sin(pt) .	(3.44)
		m (k2	- p2 )

Таким образом, под действием восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает колебания в соответствии с уравнением (3.44), в котором первое слагаемое определяет свободные гармонические колебания с частотой k, а второе слагаемое – вынужденные колебания с частотой p.

Выводы:

1.Так как из-за наличия сопротивления среды гармонические колебания затухают, то в дальнейшем точка совершает только вынужденные колебания, определяемые уравнением (32).

2.Амплитуда вынужденных колебаний

	B	a 0		(3.45)
		m(k2	- p2 )

в значительной степени определяется не только амплитудным значением возмущающей силы и массой точки, но и соотношением между частотой собственных колебаний k и частотой вынужденных колебаний p.

3.Если частота вынужденных колебаний оказывается близкой к частоте собственных колебаний, может наступить явление резонанса, приводящее к резкому возрастанию амплитуды вынужденных колебаний.

94

За последние 200 лет бурного развития техники в различных областях промышленности произошли сотни тысяч аварий, связанных с явлением резонанса. Поэтому в настоящее время при конструировании машин проверяются условия, исключающие возможность возникновения резонанса, причиной которого обычно бывают вибрации фундамента или корпуса машины, происходящие от неуравновешенности двигателей и других движущихся частей машины. Следует иметь ввиду, что причиной такой неуравновешенности могут быть не только просчеты при конструировании и изготовлении машин, но и нарушение технологического регламента, например налипание продукта на стенки роторов центрифуг.

ГЛАВА 12. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

12.1. Постановка задачи. Силы инерции

Подавляющее большинство технологических процессов химической промышленности протекает таким образом, что продукт движется по рабочему органу, который в свою очередь движется по отношению к корпусу машины.

Производительность и качество технологического процесса определяются как характером движения рабочего органа, так и относительным движением продукта по рабочему органу. Это определяет важность данной темы.

Пусть материальная точка M движется под действием силы F по отношению к неподвижной системе отсчета 01x1y1z1. Требуется определить движение этой материальной точки по отношению к другой системе отсчета 0xyz, которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе отсчета

(рис. 3.10).

95

0xyz – подвижная система отсчета; 01x1y1z1 – неподвижная система отсчета.

На основе второго закона динамики по отношению к НСО можно записать

m Wa F .		(3.46)

	Для выделения отно-
	сительного	движения,	то	z
	есть составления уравнения			z1
	динамики по	отношению	к
	подвижной системе отсчета,			M
	запишем абсолютное уско- x			0
	рение точки	по теореме Ко-
	риолиса:			01

				x1
				Рис. 3.10.
Wa W0		Wп Wk .
Перепишем (3.46) с учетом (3.47):
m (W0 Wп			Wk ) F , или
m W0	F (-m Wп ) (-m Wk ) .

F

y1

y

(3.47)

(3.48)

Введем следующие обозначения:
Fп m Wп ,		Fk	m Wk .	(3.49)
С учетом (3.49) уравнение (3.48) примет вид:
m W0	F Fп Fk .			(3.50)

Векторы Fп и Fk имеют размерность сил, поэтому их

называют переносной и кориолисовой силами инерции.

Вывод: основное уравнение динамики для изучения относительного движения записывается так же как и для абсолютного

96

движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

12.2. Иллюзорность сил инерции

Из анализа (3.46) – (3.50) следует, что переносная и кориолисова силы инерции введены в результате формальных алгебраических преобразований и в действительности на тело M они не действуют.

Реальное действие, которое мы наблюдаем и приписываем силам инерции, в действительности вызывают другие силы – реакции со стороны подвижных тел, которые действуют на рассматриваемое тело. Это утверждение можно пояснить следующим примером. Предположим, на движущейся с постоянной скоростью платформе A находится тело B (рис. 3.11).

N
		N
	Fп
W
		Fтр
	V
			V
P		P
а)			б)
		Рис. 3.11.

В некоторый момент времени платформу резко затормози-

ли с ускорением W . Очевидно тело B упадет вправо (рис. 3.11а).

На основе изложенного метода можно считать, что тело упало

вправо под действием переносной силы инерции Fп . В действи-

тельности, тело упало вправо под действием силы трения Fтр , ко-

торая начала действовать на тело B в момент торможения платформы (рис. 3.11б).

97

В общем случае переносное движение может быть криволинейным, тогда переносную силу инерции удобно определить

через сумму нормального Wn			и касательного W		ускорений:
		п		п
F	m (Wn W ) .				(3.51)
п	п	п
Обычно силу Fn m Wn				называют центробежной.
	п		п

Величина и направление кориолисовой силы инерции определяется из векторного уравнения

Fk 2m	(V0	Wп ) ,	(3.52)

где V0 – вектор относительной скорости;

ωп – вектор переносной угловой скорости.

При решении задач уравнение (3.52) целесообразно спроектировать но оси координат:

F 2m (y ω			z ω		),
kx		пz		пy
Fky	2m (z ωпx		x ωпz ), .			(3.53)
Fkz 2m (x ωпy y ωпx ).

В частном случае, если переносное вращение происходит относительно оси 0z

Fk 2m ωп x2 y2 .

Из (3.51), (3.52) следует, что выбирая ту или иную подвижную систему отсчета, можно произвольно менять величину и направление сил инерции, что подтверждает их иллюзорность.

Если подвижная система отсчета движется поступательно и прямолинейно, то, как это вытекает из (3.49), основное уравнение динамики для относительного движения совпадет с ОУД для абсолютного движения. Другими словами, равномерное прямолинейное движение подвижной системы отсчета нельзя отличить от

еепокоя (принцип относительности Галилея).

12.3.Дифференциальные уравнения относительного

движения

98

Проектируя уравнение (3.50) на оси подвижной системы

координат получим:

m d2x F F

F

,

m d2 y F F

F ,

dt2

x

пx

kx

dt2

y

пy

ky

(3.54)

m d2z F F

F .

dt2

z

пz

kz

Проекции кориолисовой силы инерции, входящие в (3.54),

могут быть вычислены на основе (3.53).

Система дифференциальных уравнений второго порядка

позволяет решать различные задачи на определение характери-

стик движения продукта по рабочему органу. Для инженерных

задач система (3.54) как правило, оказывается нелинейной и ее

решение выполняют на ЭВМ.

Пример

z

3.5.

Опреде-

лить

закон

N1

N2

движения

ша-

ω

рика

M вдоль

Fп

трубки OA, ко-

0

M

торая

вращает-

A

x

ся

в

горизон-

x0

тальной

плос-

y

кости

с

посто-

янной

угловой

P

Fk

скоростью

вокруг

верти-

Рис. 3.12.

кальной

оси

BC. Шарик принять за материальную точку, трением пренебречь.

В начальный момент времени скорость шарика была равна нулю,

а его положение определялось координатой x0 (рис. 3.12).

Решение. Запишем ОУД для относительного движения ша-

рика вдоль трубки OA:

m W0 P N1 N2

Fп

Fk .

(а)

99

Направим ось 0x ПСО вдоль трубки. Так как сила тяжести

P , вертикальная N1 и горизонтальная N2 составляющие реак-

ции трубки и кориолисова сила инерции перпендикулярны трубке, то, проектируя уравнение (а) на ось 0x, получим:

m x m ω2 x.	(б)
Сокращая уравнение (б) на массу, приведем его к виду
x ω2 x 0 .	(в)

Составим характеристическое уравнение и найдем его кор-

ни:

2 - ω2 0	,	ω .	(г)
	1,2

Так как оба корня действительные, то решение линейного дифференциального однородного уравнения второго порядка (в) можно найти в виде суммы двух экспонент

x C1 eωt C2 e- t .

(д)

Постоянные интегрирования C1 и C2 найдем по начальным условиям, предварительно определив скорость шарика

x C1 ω eωt C2 ω e- t .	(е)
Тогда при t 0 , x x0 и x	0 из (д) и (е) имеем:

x0 C1 C2 , 0 C1 ω C2 ω

или C C		C	x0	.	(ж)
	2
1		2

Объединяя (д) и (ж), получим искомый закон движения шарика вдоль трубки

x	x0	ω eωt e- t .	(з)
2
Скорость шарика
x	x0	ω eωt e- t .	(з)
2

При большой угловой скорости относительная скорость шарика растет очень быстро. Это обстоятельство широко используется для интенсификации многих технологических процессов

100

химической и пищевой промышленности (центрифугирование, сепарирование, смешивание, фильтрование, распыление и т.п. *).

ГЛАВА 13. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

При решении многих задач можно пользоваться готовыми формулами, полученными на основе второго закона Ньютона. Методы решения таких задач объединены в настоящем разделе.

13.1. Теорема об изменении количества движения материальной точки

Введем следующие динамические характеристики.

1.Количество движения материальной точки – вектор-

ная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

					кг м	Н с
	q m V ,						.	(3.55)
					с

2.Импульс силы. Элементарный импульс силы определяется как векторная величина, равная произведению век-

тора силы на элементарный промежуток времени

			Н с
	d S F dt ,			.	(3.56)
Полный импульс
S F dt .

Очевидно, полный импульс можно вычислить непосредственно в двух случаях: когда действующая на точку сила постоянна по величине и направлению; когда сила является функцией времени. В других случаях для вычисления полного импульса

необходимо решить основную задачу динамики.

Если F const , то тогда полный импульс S F t .

Так как размерности импульса и количества движения одинаковы, то это позволяет установить между ними количественную зависимость.

Для установления зависимости между импульсом (причиной) и следствием (количеством движения) рассмотрим случай,

101