3 Динамика

когда под действием произвольной силы F материальная точка M движется по произвольной траектории AB.

В этом случай ОУД имеет вид:

dV m dt F .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

			V1		t1
			m dV		dt ,
M		V	V0		t0
A		B
		F
Рис. 3.13.
m V1	m V0	S .			(3.57)

Уравнение (3.57) выражает следующую теорему: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени.

При решении задач уравнение (3.57) необходимо спроектировать на оси координат:

mx1 mx0 Sx , m y1 m y0 Sy , mz1 mz0 Sz . (3.58)

Пример 3.6. Определить время торможения автомобиля массой 1000кг, если его начальная скорость 72 км/ч, а при тор-

можении развивается тормозная сила, равная 5000Н (рис. 3.14).
Решение. На основе (3.57) запишем:
m V1	m V0	S P S F S N					(а)
Проектируя (а) но ось 0x, получим
- m V F t		или t	m V0		1000 20	4 c.
	0		F	5000

102

Данную теорему целесообразно использовать в тех случаях, когда среди неизвестных и заданных величин находятся масса, начальная и конечная скорость тела, действующая сила и время.

13.2. Теорема об изменении момента количества движения точки

По аналогии с вектором силы можно вычислить момент

вектора количества движения точки относительно любого центра
l0	m0	m V .	(3.59)
При решении задач можно использовать понятие			момента

количества движения относительно оси. Для этого уравнение

(3.59) необходимо спроектировать на оси координат:
			. (3.60)
lx mx m V	, ly my m V	, lz mz m V

Для установления связи между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) рассмотрим слу-

чай, когда точка M заданной массы движется под действием силы

F .

Запишем выражения для определения моментов силы F и

вектора m V относительно точки 0 в векторной форме.

m0

F r

F ,

(3.61)

(3.62)

m0 F r m V .

Вычислим векторную производную по времени от уравне-

ния (3.62):

N

V1

0

V0

x

F

0

P

Рис. 3.14.

103

d

d

m

dV

m

0

m V

r

m V

r

.

(3.63)

dt

dt

dt

Так как первое слагаемое (3.63) равно нулю, то, объединяя

(3.61) и (3.63), окончательно получим

d l

0

m0

F .

(3.64)

dt

Уравнение (3.64) выражает следующую теорему: производ-

ная по времени от вектора момента количества движения точ-

ки относительно некоторого центра равна моменту действую-

щей на точку силы относительно того же центра.

При решении задач уравнение (3.64) необходимо спроекти-

ровать на оси координат:

dl

dly

dl

x

mx (F) ,

dt

my (F)

,

z

mz (F) .

(3.65)

dt

dt

Из анализа (3.64) вытекает, что если момент силы относи-

B

тельно

некоторого

центра равен нулю,

то

m V

момент

количества

движения точки отно-

S OMA m0

(F),

F

M

сительно

этого

же

A

центра

сохраняет

свою

величину

и

S OMA m0 (m V ).

r

направление (закон со-

M

хранения момента).

0

Этот закон назы-

Рис. 3.15.

вается законом Кепле-

V

Vh

P

H

ра.

0

Пример

3.7.

Опреде-

лить

скорость

спутника

H

связи «Молния 1» при его

наибольшем

удалении

от

поверхности Земли.

h

Принять Vh 8 км/c ,

Рис. 3.16.

h 400 км ,

104

H 40000 км .

Решение. Воспользуемся доказанной теоремой. При движе-

нии по орбите на спутник действует только сила тяжести P . Тогда относительно центра Земли можно записать

dl0						const , т.е. момент количе-
	m		(P) 0 , откуда	l
		0			0
dt

ства движения спутника относительно центра Земли остается постоянным. В этом случае (рис. 3.16)

m Vh (R h) m VH (R H ) ,				(а)
где R – радиус Земли.
Из (а) находим V	Vh (R h)		8 (6374 400)
H	R H		6374 40000

1.17 км/с .

13.3.Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Работа силы. Мощность

Данная теорема устанавливает количественную зависимость между работой силы (причиной) и кинетической энергией материальной точки (следствием).

Кинетической энергией материальной точки называется положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

	T	m V 2		кг м2	нм Дж
			;			.	(3.66)
		2		с2

Работой силы на данном перемещении называют характеристику того действия силы, которое приводит к увеличению модуля скорости.

Элементарная работа определяется скалярным произведением вектора силы на элементарный вектор перемещения точки ее приложения:

		(3.67)
dA F dr .

Уравнение (3.67) можно переписать в виде: dA F dr cos() F cos() dr .

105

F V

M

F

Рис. 3.17.

S1

A F dS .

S0

Но	F cos( ) F	есть проекция
силы F на касательную		(рис. 3.17), а
dr dS;	тогда удобная форма для вы-

числения элементарной работы силы имеет вид:

dA F dS .

(3.68)

Полная работа определяется интегралом

(3.69)

Из (3.69) следует, что полная работа может быть непосредственно вычислена в двух случаях: когда касательная составляющая силы постоянна или когда она зависит от перемещения.

В тех случаях, когда сила зависит от скорости или времени для вычисления работы необходимо решить основную задачу динамики.

Работа постоянной по величине и направлению силы определяется произведением модуля силы на перемещение точки ее приложения и на косинус угла между силой и перемещением

		(3.70)
	A F S cos(F,S) .

Мощность

Для характеристики источников энергии в технике используется понятие мощности, которое определяет работу в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то

N	A		,		Дж		Вт			.	(3.71)
		t			с
В общем случае
N		dA				F dS			F V .		(3.72)
		dt					dt

Из (3.72) следует, что при заданной мощности двигателя для увеличения силы необходимо снизить скорость. Такая воз-

106

можность используется в автомобилях, лебедках, подъемных
кранах.
	Аналитическое определение работы силы
	При решении задач удобно пользоваться аналитическим
выражением для вычисления работы силы. Для этого уравнение
(3.67) необходимо спроектировать на оси координат, в результате
чего получим
	dA Fx dx Fy dy Fz dz .				(3.73)
	Вычисление работы характерных сил
	1. Работа силы тяжести. На основе (3.73) можно записать
(рис. 3.18):
z		M0		dA P dz ,
				dA P dz	,
		M1		A P(z0 z1) .
0	P
				Таким образом, работа силы тяжести
		y
x			вычисляется как произведение модуля силы
			тяжести на разность перемещения ее точки
Рис. 3.18.			приложения по вертикали:
				A P h .	(3.74)
				Из анализа уравнения (3.74) следует,
	S		что работа силы тяжести не зависит от тра-
			ектории точки ее приложения. Такие силы
			называются потенциальными.
		P		При решении задач, где силы имеют
			потенциал, обязательно должен быть задан
			нулевой уровень.
	Рис. 3.19.			Пример 3.8. Определить работу силы
			тяжести на данном перемещении (рис.
3.19), если P = 10 H, S = 2 м, α = 30О.
	Решение. На основе (3.70) имеем:
	A(P) P Ssin()			10 2 0,5 10 Нм

107

2. Работа силы трения. Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную возможной скорости, то ее работа равна:

A Fтр ds cos(180) Fтр S .

(3.75)

Следует иметь в виду, что при расчетах технологических процессов силы трения не являются постоянными по величине и вычисление работы представляет собой сложную задачу. Из (3.75) следует, что работа силы трения зависит от вида траектории точки ее приложения, то есть она не является потенциальной.

Силы, работа которых всегда отрицательна, иногда называют диссипативными.

3. Работа упругой силы. Можно показать, что работа упругой силы, имеющей модель

F = -c x,

равна

A	1	c (x2	- x2 ) .	(3.76)
	2	1	0

Из (3.76) следует, что работа упругой силы не зависит от траектории точки ее приложения, то есть она является потенциальной.

Докажем следующую теорему, которая связывает работу силы и кинетическую энергию точки: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

Пусть точка М массы m движется под действием силы F из

	положения M0 в M1	(рис. 3.20). Запишем ОУД:
		m dV
				F .	(3.77)
	V M1		dt
	M0	Спроектируем (3.77) на касательную:
			dV
	F	m		F .	(3.78)
			dt
	Рис. 3.20.	Преобразуем уравнение (3.78)			с помо-
		щью подстановки

108

dV		dV dS		V	dV	.	(3.79)
		dt dS
dt					dS

Объединяя (3.78) и (3.79), получим m V ddSV F ,

После разделения переменных и интегрирования окончательно имеем:

V1		S1
m V dV F dS ,
V0		S0
2	2
m V1		m V0	A(F) .	(3.80)
2	2

Уравнение (3.80) и доказывает сформулированную выше теорему.

Пример 3.9. Определить тормозной путь S автомобиля массой m=1000кг, который начал тормозить при скорости V0=72 км/ч; при торможении развивается тормозная сила F=5000Н (рис. 3.21).

					Решение. Так как ко-
	N	S	N		нечная скорость автомобиля
					V1 0 , то		уравнение	(3.80)
				0
			V1		запишется так
		V0
F
						m V 2
						2	0
M0		M1
	P		P		A(P) A(N) A(F).
		Рис. 3.21.			Найдем работу сил:
					A(P) P S cos(90) 0 ,
A(N) N S cos(90)			0 , A(F) F S			cos(180) -FS.

	m V 2		m V2		1000 400
Тогда -		F S ; S				40м .
	2		2 F		2 5000

109

Если тело движется под действием только потенциальных
сил, то имеет место так называемый закон сохранения энергии. В
этом случае можно записать:
T0 + П0 = Т1 + П1.					(3.81)
Пример	3.10.	Материальная		y
точка массой	m = 2 кг движется в		V1	M1
соответствии с уравнениями:					V0
X = 3cos(2t) м, y = 3sin(2t) м.
Вычислить работу действую-					M0
щей на точку силы F за промежуток				0	x
времени от t0 = 0 до t1 = π/4 с.
Решение. Исключая из урав-
нений движения время t, устанавли-
ваем, что в данном случае точка
движется	по	окружности		Рис. 3.22.
x2 y2 9 .
	За указанный проме-
жуток времени точка перемещается из положения M0 в положе-
ние M1 (рис. 3.21).
Для вычисления работы силы F воспользуемся аналитиче-
ским методом. На основе (3.73) запишем
dA Fxdx Fydy .					(а)
Входящие в уравнение (а) дифференциалы найдем из про-
изводных:
dx -6 sin(2t)		, dy 6 cos(2t) ,			(б)
dt		dt
dx -6 sin(2t)dt , dy 6 cos(2t)dt .					(в)
Вычислим проекции силы F:
		m cos(2t),
Fx m x -24
F m y -24 m sin(2t).					(г)
y
Объединяя (в) и (г) на основе (а), получим
dA 0 .					(д)
Так как (д) выполняется для любого момента времени, то
работа силы	F за указанный выше промежуток времени равна
110

нулю. Этот результат можно было бы получить непосредственно на основе теоремы об изменении кинетической энергии. В самом

деле, из (б) находим V	x2	y2	6 м/с , т.е. скорость точки не
зависит от времени. Тогда		из	(3.80) при V1 V0 получаем
A(F) 0 . Из (г) следует, что сила F направлена к центру окруж-

ности, т.е. ее проекция на касательную равно нулю. А такие силы, как это вытекает из (3.68), работы не совершают.

111