2 Кинематика

Но lim

sin( )

1,

lim

ΔS

V ,

lim

1

, где

Δt

ΔS

Δt 0

Δt 0

Δt 0

– радиус кривизны траектории. Тогда

Wn V 2

.

(2.17)

Таким образом, проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение) определятся отношением квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории.

Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению. При прямолинейном движении

Wn 0 .

Полное ускорение равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений.

			W2 Wn2 .
W W Wn или W					(2.18)

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории (рис. 2.12).

Пользуясь понятиями касательного и нормального ускорений все многообразие движений точки можно свести к четырем типам, указанным в таблице.

W	Wn	Характер движения
= 0	= 0	Равномерное прямолинейное
0	= 0	Неравномерное прямолинейное движение
= 0	0	Равномерное криволинейное движение
0	0	Неравномерное криволинейное движение.
Характер изменения скорости точки удобно оценивать по
знакам V и W .
Ускоренным называется такое
движение, при котором модуль скоро-
				W
сти	увеличивается.	Замедленным
			M
называется движение точки, при ко-
тором модуль скорости уменьшается.
		ускоренное			W
1)	V = + W = +		Wn
		движение
2)	V = – W = –
3)	V = – W = +	замедленное		n
4)	V = + W = –	движение		Рис. 2.12.		53

Пример 2.5. По условию примера 2.4. определить полное, касательное и нормальное ускорения очки М при t 7 6 с, а

также радиус кривизны траектории.

Решение. В заданный момент времени точка имеет координаты x 1,0 м, y 2,6 м (рис. 2.9). Найдем проекции уско-

рения на оси координат:

Wx x 32sin(4t) мс2 ; Wy y 48cos(4t) мс2 .

Для заданного момента времени

Wx 16 мс2 , Wy 41,6 мс2 , W Wx2 Wy2 44,5 мс2 ,

Для определения касательного и нормального ускорений на основе (2.16) и (2.17) необходимо найти скорость точки М для заданного момента времени:

Vx x 8cos(4t) 6,9мс ; Vy y 12sin(t) 6мс

V 64cos2 (4t) 144sin2 (4t) 9,14мс .

Определение касательного ускорения на основе (2.16) приводит в данном случае к вычислению громоздкой производной

dV

dt

. Эта процедура упростится, если использовать другое, иден-

тичное выражение

W (Vx Wx VyWy )V , тогда

W ( 6,9 16 6 41,6)9,14 15,2 м/c 2 .

Модуль нормального ускорения можно найти на основе

(2.18):

Wn W2 Wτ2 44,52 15,22 41,8 м/c 2 .

Правильность вычислений проверяется определением модуля нормального ускорения из выражения

54

	Wn (Vx Wx Vy Wy ) V
	( 6,9 41,6 6 16) 9,16 41,8 м/с 2 .
	Радиус кривизны траектории в данном положении точки
	найдем из (2.17):
	V 2		9,142	2 м.
	Wn		41,8
	Направление вектора полного ускорения определяется по
	его проекциям Wx и Wy (рис. 2.9). Для проверки правильности
	построения W целесообразно вычислить направляющий косинус
	cos(W ,i) W			W 16 44,5 0,36	( 69o ).
	x		x
	Пример 2.6. В момент выключения двигателей последней
	ступени баллистическая ракета находилась на высоте H = 640 км
	и имела скорость 2800 м/с, направленную под углом 15о к гори-
	зонту (рис. 2.13).
	Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить макси-
	мальную высоту подъема ракеты.				y
	Решение. После выключения двига-
						V0	V
	теля ракета продолжала двигаться с уско-
							x
	рением W g 9,81 м/с 2 . Для удобства
							Hmax
	решения поместим начало координат в				H
	точку, где находилась ракета в момент
	выключения двигателя. Найдем проекции					Рис. 2.13.
	ускорения на оси координат.
	dV		dVy
	x		dt g .				(а)
	dt 0 ;
	Разделим переменные и проинтегрируем уравнения (а):
	Vx C1 ; Vy gt C2 .						(б)
	Постоянные интегрирования найдем по начальным услови-
	ям:
	t 0 ; Vx0		V0 cos( ) , Vy 0 V0 sin( ) .				(в)
	Решая совместно (б) и (в), имеем:

55

C1 V0 cos( ) ,				C2 V0 sin( ) .					(г)
Подставим (г) в (б):
Vx V0 cos( ) ,				Vy gt V0 sin( ) .
или
	dx	V cos( ) ,			dy	gt V sin( ) .			(д)
	dt		0		dt			0
Разделяя переменные и интегрируя (д) при начальных
условиях x0 0 , y0 0 , получим:
	x V0 cos( ) t , y g						t2	V0 sin( ) t .	(е)
				2

Очевидно, Нmax = H+ymax.Максимальное значение ymax имеет место при Vy 0 ; при этом ограничении можно найти из (д) соответствующее значение времени

t V0 sin( ) g .					(ж)
Подставляя (ж) в (е), получим:
V 2 sin2		( )		28002 0,2592
y max	0				26767 м .
	2g			2 9,81

Таким образом, максимальная высота подъема ракеты составляет Hmax = 640+27 = 667 км.

ГЛАВА 6. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого те-

ла, при котором любой отрезок прямой, связанный с этим телом, во все время движения остается параллельным самому себе (рис. 2.14). По аналогии с предыдущим найдем:

56

V

rA ,

срА

Δt

B

rB

VсрB

Δt

,

B1

rB

rA

rA1

rA ,

rB

rB1

rB

rB1

rB.

A

Так как по опре-

rA

делению,

rA

A1

AA1 BB1,

AA1 BB1

rA1

Рис. 2.13.

то

rA

rB .

Переходя к пределу, получим:

lim

lim

rA drA V ,

rB drB V .

Δt

dt

A

Δt

dt

B

Очевидно,

W

dV

dt , W

dV dt , то есть

A

A

B

B

VA

VB ,

WA WB .

(2.20)

Таким образом при поступательном движении тела все точки его движутся по одинаковым траекториям и в один и тот же момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Следовательно для поступательного движения твердого тела могут быть использованы все результаты, полученные при изучении движения точки.

6.2. Вращательное движение твердого тела

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь его точки во все время движения остаются неподвижными.

57

B

ω

1

A

Рис. 2.15.

AB – ось вращения, 1 – неподвижная плоскость, 2 – подвижная плоскость, жестко связанная с телом (рис. 2.15).

2 Для задания вращательного движения, надо задать угол поворота тела как некоторую функцию времени f(t) (всегда в

радианах).

Основными характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и угловое ускорение. Угол поворота меняется с течени-

ем времени.

Отношение приращения угла поворота к приращению времени называется средней угловой скоростью.

Δt t1 t0, 1 0, ωср t .

Истинное значение угловой скорости найдется как предел

lim			d	, или ω	d	.	(2.21)
	Δt		dt
Δt 0					dt

Таким образом значение угловой скорости в заданный момент времени определяется алгебраической производной от угла поворота по времени.

Для характеристики изменения угловой скорости с течением времени вводится понятие углового ускорения:

Δt t1 t0, Δω ω1 ω0, εср ω t .

(2.22)

Среднее угловое ускорение определяется отношением приращения угловой скорости к соответствующему промежутку времени.

Для определения истинного значения углового ускорения необходимо вычислить предел отношения (2.22).

58

		lim	Δω	dω		или	dω	d2 .	(2.23)
		Δt 0	Δt		dt		dt	dt2
	Угловая скорость и угловое
	ускорение		являются			основными		ω
	характеристиками				любой		маши-
	ны. При пуске ε 0 и ω увели-
	чивается;		в	рабочем			режиме
	ε 0 ,	ω const ;			после выклю-
	чения	двигателя			0 ,		угловая	0	t
	скорость		падает			до	нуля
									Рис. 2.15.
	(рис. 2.16).
	6.6. Определение линейных скоростей и ускорений точек
						вращающегося тела

Для определения скорости и ускорения какой-нибудь точки M вращающегося с угловой скоростью и угловым ускорением тела воспользуемся естественным способом задания движения. Так как все точки тела движутся по окружностям (рис. 2.17), то закон движения точки M можно записать в виде

	S OM R .							(2.24)
		- 0				Получив закон движе-
				ния точки M, найдем ее ско-
		M		рость:			d
						dSM
	R		Wτ	VM		dt	R dt	(2.25)
			VM	или	VM R ω.
		0
			ω			Таким образом, для
	Wn			определения скорости точки
				тела		необходимо умножить
				угловую скорость тела на ра-
				диус, то есть расстояние точ-
		W
		Рис. 2.17.		ки до оси вращения. Пользу-
				ясь		уравнениями		(2.16)-

(2.18), найдем касательное, нормальное и полное ускорения точки M:

59

1

ω2

2

A B

Рис. 2.18.

W	dV			R		dω		или W R ε,			(2.26)
τ		dt				dt			τ
Wn		V 2			R 2 ω2				или Wn R ω2	,	(2.27)
		R
						R
W R				ω4 2 .							(2.28)

Из анализа уравнений (2.25)-(2.28) следует, что скорость и ускорение любой точки вращающегося тела пропорциональны расстоянию этой точки до оси вращения.

Пример 2.8. Для передачи вращения от электродвигателя к смесителю используется плоскоременная передача, при этом на валу двигателя установлен шкив 1 радиуса R1 = 0,2 м, а на валу смесителя шкив 2 радиуса R2 = 0,4 м (рис. 2.18).

Определить угловую скорость ω2 и угловое ускорение ε2 вала смесителя при t = 2 с, если известно, что вал двигателя вращается в соответствии с законом 1 10t2 рад.

Решение. Очевидно, линейные скорости точек A и B шкивов равны (скольжением ремня и его растяжением пренебрегаем).

Но VA R1 ω1 , а VB R2 ω2 . Тогда

ω			R1	ω	R1		d1		R1	20t 20 рад/с.
	2
			R2	1	R2		dt		R2

При указанных допущениях касательные ускорения точек A и B также равны, но

60

WA R1 ε1 , WB R2 ε2 и тогда

ε2 R1 ε1 R1 d1 R1 20 10 рад/с2. R2 R2 dt R2

Следует заметить, что нормальные ускорения точек A и B не равны. (почему?).

ГЛАВА 7. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

7.1. Уравнения плоского движения

Плоским называют такое движение твердого тела, при котором все его точки описывают плоские траектории, параллельные базовой плоскости.

Уравнения плоского движения можно получить следующим образом. Пусть тело совершает плоское движение по отношению к базовой плоскости (Б.П.) (рис 2.19). Очевидно, все точки, лежащие на перпендикуляре АВ к базовой плоскости, движутся одинаково.

Следовательно, для задания плоского движения твердого тела необходимо и достаточно задать движение какого-нибудь сечения плоскости.

B	S
	y
		A
	yA
	Б.П.
A	0		x
		xA
Рис. 2.19.		Рис. 2.20.

Как известно, положение плоской фигуры (S) можно задать посредством координат произвольной точки A (полюса) и угла поворота фигуры относительно полюса (рис. 2.20):

61

xA f1(t),		yA f2 (t), f3(t).					(2.29)
В качестве полюса можно
принять любую точку тела, дви-					B
движение	которой		известно.
Тогда для	задания		плоского
движения тела должны быть за-
даны три уравнения движения
(2.29).				A	B'
При	этом	первые два				1	B1
уравнения (2.29) описывают по-
ступательную		составляющую
плоского движения, а третье –					A1		'
вращательную составляющую.							A1
Таким	образом,		плоское		Рис. 2.21.
движение сечения (S) (а значит

и всего тела) можно рассматривать как состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного относительно полюса.

Из рассмотрения рисунка 2.21 следует, что при изменении
полюса первые два уравнения изменяются, в то время как урав-
нение для угла поворота не меняется.
Пример 2.9. Определить уравнение плоского движения ко-
леса, которое катится без скольжения прямолинейно (рис. 2.22).
y					Будем		пред-
				полагать, что ско-
				рость центра колеса
R				VC постоянна, а оси
				координат в началь-
C	VC	C
				ном	момент		време-
A1				ни указаны на чер-
		B		теже.
A					Так как ско-
			x	рость		точки	C из-
				вестна,		то выберем
	XC
				ее в качестве полю-
	Рис. 2.22.			са.	В	этом	случае
62