2 Кинематика

YC R const . Для определения XC примем во внимание, что

VC VCX dXC . Тогда dXC VC dt или XC VC t . dt

Для нахождения функции f3(t) учтем, что колесо катится без скольжения, следовательно AB XC R . Оконча-

тельно уравнения плоского движения колеса в форме (2.29) имеет следующий вид:

XC VC t; YC R; VC tR .

7.2. Определение скоростей точек тела

Воспользуемся векторным способом задания движения для нахождения скорости произвольной точки M. Из (рис. 2.23) имеем

rM rA rMA .

Для определения скорости точки M вычислим векторную производ-

:

ную от вектора r

M

V drM

drA drMA .

M

dt

dt

dt

drA

drMA

Очевидно

V

, а

dt

A

dt

ω

	M
A rMA

(S) rA rM

0

Рис. 2.23.

определяет скорость точки

M от вращения сечения (S) вокруг полюса. Тогда

VM VA VMA .			(2.30)

Уравнение (2.30) выражает следующую теорему: скорость любой точки тела при плоском его движении равна геометрической сумме скорости полюса от поступательного движения тела и скорости точки от вращения тела вокруг полюса.

63

	Скорость VMA MA, а ее мо-
дуль VMA MA ω .
	Пример 2.10. Определить ско-				B
рость точки B тела,			совершающего
плоское		движение,	если известны		ω
						VBA
скорость полюса VA , угловая ско-					A
рость ω и расстояние AB.
	В соответствии с(2.30) имеем
					VA
			вычислив
VB VA VBA ;
	BA ω и принимая во внима-			VA		VB
VBA
					Рис. 2.24.
ние,	что	VBA BA построением

параллелограмма находим VB (рис. 2.24).

Теорема: Если тело совершает плоское движение, то проекции скоростей двух любых точек тела на прямую их соединяющую, равны по величине и имеют одинаковое направление.

	Найдем скорость точки B по известным данным VA , ω , AB
				(рис. 2.25):
			V	VB	VA VBA .
			B	Спроектируем данное равен-
				ство на прямую AB:
				VB	cos( ) VA cos( )
		V
		BA
				V	BA	cos(90o )
			VA	или	VB cos( ) VA cos( ) ,
		V
		A		что и требовалось доказать.
		90o
	ω			7.3. Мгновенный центр скоро-
	A		B				стей.
				Теорема: Если тело соверша-
	Рис. 2.25.			ет плоское движение, то всегда
				имеется такая точка, жестко
				связанная с телом, скорость кото-
	64						x

рой в данный момент времени равна нулю. Такая точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

МЦС лежит на пересечении перпендикуляров к векторам

скоростей двух каких-нибудь точек тела (рис. 2.26).
		Докажем, что скорость точки
VA
		Р(МЦС) VP 0 . Предположим, что
A		VP 0 . Тогда по теореме о проек-
90o B		циях скоростей точек на прямую их
90o		соединяющую вектор VP	должен
	V	быть перпендикулярен AP, так как
Р(МЦС)	B
		VA AP . С другой стороны VP
Рис. 2.2.		должен быть перпендикулярен BP,
		так как VB BP . Получаем проти-

воречие: вектор VP должен быть одновременно перпендикулярен

непараллельным отрезкам AP и BP, что невозможно. Следова-

тельно VP 0 , что и требовалось доказать.

Свойства МЦС.

Запишем уравнения для определения скоростей точек А и В, приняв МЦС за полюс:

VA VP VAP, VB VP VBP ,

VA	VAP , VB					VBP.	(2.31)
Очевидно VA AP ω , VB BP ω , откуда
ω		VA		VB	.		(2.32)
		AP		BP

Из (2.31) и (2.32) вытекают следующие свойства МЦС:

1)Скорости точек тела при плоском движении прямопропорциональны их расстояниям до МЦС.

2)Скорости точек перпендикулярны отрезкам, соединя-

ющим эти точки с МЦС.

Частные случаи определения МЦС.

65

1.Скорости точек A и B тела составляют одинаковый

угол	с прямой	AB (рис. 2.27).	Очевидно	при	этом	VB VA ,
VB VA , то есть в этом случае тело совершает мгновенно посту-
пательные движения.
	2. Скорости точек A и B тела
перпендикулярны отрезку AB и не
равны. На основе (2.32) МЦС				B	VA
находится так, как показано на рис.
2.28.
	3. Скорости точек А и В пер-
пендикулярны		отрезку AB	и
направлены в		противоположные
стороны. МЦС		определяется так,
					VB
как показано на рис. 2.29.			A
				Рис. 2.27.

B
	90o		VA
				VA
				A
				90o
	90o	VB
				B
			VB
A
	Рис. 2.28.			Рис. 2.29.

4. Колесо катится без скольжения прямолинейно. В данном случае МЦС находится в точке касания А (рис. 2.30).

66

67

ГЛАВА 8. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
8.1. Относительное, переносное и абсолютное движения
Технологические процессы, связанные с механической об-
работкой продуктов (сепарирование, перемешивание, дробление
и т.п.), протекают по следующей схеме: продукт движется по ра-
бочему органу, который в свою очередь движется по отношению
к корпусу машины. Такое движение частицы продукта (точки)
называется сложным.
Пусть точка M движется в подвижной системе отсчета 0xyz
по некоторой траектории AB. Подвижная система отсчета (ПСО)
						известным		образом дви-
			M' '			жется	по	отношению		к
z1		A1
			1			условно неподвижной си-
	z			M1
						стеме	отсчета		(НСО)
	A	M		B1		01x1y1z1. Требуется опре-
			'		y	делить движение точки M
						по	отношению		НСО
			M1	B
		0				(рис. 2.34).
							Пусть за некоторый
01
						промежуток времени				t
				y1		ПСО	переместилась			по
						отношению к НСО таким
						образом, что траектория
	x					точки M заняла положе-
x1		Рис. 2.34.				ние A1B1		и точка M пе-
						реместилась в положение
						M1. Очевидно, если бы
ПСО не перемещалась, то по истечении указанного промежутка
времени точка M находилась бы в положении M'								. С другой сто-
							1
роны, если бы точка M не перемещалась по траектории AB, то
она заняла бы положение M' ' .
				1
68

Движение точки M по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Оно характеризуется пере-

мещением M M1' . Скорость точки M при ее движении по траек-

тории AB называется относительной скоростью Характеристика изменения величины и направления вектора относительной ско-

рости называется относительным ускорением.

Движение точки M по отношению к неподвижной системе отсчета при отсутствии относительного движения называется пе-

реносным. Оно определяется перемещением M M1' ' и характери-

зуется переносной скоростью и переносным ускорением. Следо-

вательно, для выделения переносного движения надо мысленно остановить относительное движение. Тогда движение точки M по отношению к НСО и будет переносным движением.

Движение точки M по отношению к НСО, определяемое перемещением MM1 , называется абсолютным; оно характеризу-

ется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.

8.2. Определение абсолютной скорости

Очевидно, вектор абсолютного перемещения M M1 можно представить как сумму векторов относительного и переносного перемещений точки M:

MM1 MM1'	MM1' '.	(2.38)
Разделив равенство (2.38) на t		и переходя к пределу, по-
лучим:

lim	MM1			lim	MM1'	lim	MM1' '
		Δt			Δt		Δt	(2.39)
t 0				t 0		t 0
или Vа VО VП .

Уравнение (2.39) выражает следующую теорему: абсолютная скорость точки при сложном движении ровна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей.

Векторы Va , VО и VП направлены по касательным к соответствующим траекториям (рис. 2.35).

69

		'		В общем случае модуль абсолютной
		M1	скорости находится из уравнения
			V	V 2	V 2	2 V V cos( ). (2.40)
		VА
	VО		a	О	П	О	П
		M		Пример2.13. Определить абсолют-
			ную скорость			колечка	M, которое дви-
			жется	вдоль		стержня	ОА	по закону
		VП
	M		OM 3 t2 см,			при этом стержень ОА
		M' '	вращается		в соответствии с			уравнением
			4 t2 ,
		1			рад (рис. 2.36). Движение ко-
	Рис. 2.35.		лечка по стержню будем считать относи-

тельным. Тогда относительная скорость VO dtd (OM ) 6t , см/с.

Для определения переносной скорости мысленно остановим движение колечка по стержню, тогда точка М будет двигать-

ся по окружности радиуса ОМ. Следовательно VП OM ω, или

VП OM ddt 24t3 , см/с.

Вектор переносной скорости направлен по касательной к окружности радиуса OM и тогда

Va VО2 VП2 6 t 1 16t3 , см/с.

z				WK
			W
			n
ω
		VП
				VA
90o		90	o
	M
0				A
Wn			W	V
n			O	O
	Рис. 2.36.

70

8.3. Определение абсолютного ускорения. Теорема Кориолиса

Для определения абсолютного ускорения точки при ее сложном движении необходимо вычислить векторную производную от абсолютной скорости (2.39). Примем во внимание, что вектор относительной скорости меняет свою величину и направление в относительном движении и кроме того меняет свое направление в переносном движении.

Соответственно, вектор переносной скорости меняет свою величину и направление в переносном движении, кроме того, вектор переносной скорости меняет свое направление в относительном движении.

Таким образом, производную уравнения (2.29) можно запи-

сать так:

dVa

d(VO )0

d(VO )n

d(VП )n

d(VП )0

(2.41)

dt

dt

dt

dt

dt .

В уравнении (2.41) по определению

d(VO )0

W

– относительное ускорение.

dt

0

d(VП )n

dt

Wn – переносное ускорение.

Сумма двух последних слагаемых называется ускорением

Кориолиса,

	d(VO )n d(VП )0 W .
					k
		dt		dt
Окончательно уравнение (2.41) примем вид:
Wa W0				Wn Wk .		(2.42)

Уравнение (2.42) выражает следующую теорему Кориоли-

са:

71

если точка совершает сложное движение, то в общем случае ее абсолютное ускорение равно сумме трех ускорений – относительного, переносного и кориолисового.

Очевидно, ускорение Кориолиса характеризует изменение направления вектора относительна скорости в переносном движении и вектора переносного движения в относительном движении.

В рассмотренном выше примере 2.13) имеем:

dVO

d

W

(6t) 6 см/с 2

, W

Wn W ,

0

dt

dt

n

n

n

n

2

d 2

4

2

Wn

OM

ω

OM

192t

, см/с

,

dt

W

dVn

OM

dω

OM 24t4 , см/с 2.

n

dt

dt

Можно доказать, что ускорение Кориолиса определяется

уравнением:

Wk

2 (ω VO ),

(2.43)

то есть вектор ускорения Кориолиса определяется удвоенным векторным произведением вектора переносной угловой ско-

рости ω и вектора относительной скорости VO .

Условились вектор ω направлять вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение наблюдается происходящим против часовой стрелки.

Вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы переносной угловой скорости и относительной скорости точки и направлен в ту сторону, откуда совмещение первого вектора со вторым происходит кратчайшим путем против часовой стрелки.

Модуль ускорения Кориолиса находится из выражения

Wk 2
		ω VO sin(ω,VO ).	(2.44)
В рассмотренном примере (рис. 2.34)
W	2	ω V sin(90o ) 96t2	, см/c 2.
k		O

72