2.Ргр-2. Собственные колебания консервативной системы с одной степенью свободы вблизи положения устойчивого равновесия

2.1. Теоретические основы работы

Работа состоит из двух частей: свободные колебания и затухающие колебания при общей схеме колебательного механизма и общих начальных условиях.

Свободные колебания.Колебательная система считается консервативной, если полная энергия в ней не убывает и в нее не поступает энергия из внешнего источника, т.е. справедливо условие:

,

где Е– полная энергия;Т, П– соответственно кинетическая и потенциальная энергии, которые могут изменяться, но сумма их сохраняется постоянной (отсюда название системы).

Для тела, совершающего возвратно-поступательное движение, кинетическая энергия равна:

, (2.1)

где m₁ – масса движущего тела, кг; v - его линейная скорость, м/с.

При вращении тела вокруг неподвижной оси

, (2.2)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения, кг×м²; - угловая скорость, рад/с.

При совершении телом плоского (плоскопараллельного) движения

, (2.3)

где - кинетическая энергия поступательного движения, см. формулу (1.1); - то же для вращательного движения, см. формулу (2.2).

В общем случае кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий отдельных ее элементов:

, (2.4)

где n – число элементов; T_i – кинетическая энергия какого-либо отдельного элемента.

Потенциальная энергия определяется изменением координаты тела:

, (2.5)

где - масса тела, кг; - ускорение силы тяжести, =9,81м/с²; - изменение координаты, м.

При этом потенциальная энергия возрастает, если координата увеличивается (знак + в формуле 2.5) и уменьшается в случае уменьшения координаты (знак - в формуле 2.5).

Для пружины потенциальная энергия равна

, (2.6)

где с – линейная жесткость пружины, Н/м; - динамическая деформация, м; - статическая деформация пружины, м.

Потенциальная энергия отдельных элементов суммируется:

,

где i = 1, 2, 3,….

Полученные общие выражения для полной кинетической и полной потенциальной энергий системы подставляются в уравнение Лагранжа второго рода:

, (2.7)

где t – время; - соответственно обобщенные координата и скорость.

После процедур взятия производных для уравнения Лагранжа получаем дифференциальное уравнение вида:

, (2.8)

где - обобщенная масса системы (см. пример решения задачи), кг; - деформация подвески груза при его колебаниях, м.

Для решения уравнения (2.8) должны быть заданы начальные условия:

при - начальная координата;

при - начальная скорость.

Характеристическое уравнение для решения дифференциального уравнения (2.8) имеет вид:

, (2.9)

где r – корни характеристического уравнения; - круговая частота колебаний, рад/с.

Корни уравнения (1.9) являются мнимыми и сопряженными, и тогда решением уравнения (1.8) будет:

, (2.10)

где С₁, С₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий: . Для использования второго начального условия определена производная от по времени:

.

С учетом значений С₁,С₂решение (2.10) примет вид:

. (2.11)

Решение (2.11) может быть представлено в другом виде, удобном для построения графика колебаний:

(2.12)

при и ,

где - амплитуда колебаний, м; - начальная фаза колебаний.При построении графика следует учесть, что период колебаний равен . Построение графика показано в примере решения задач.