2. Задача минимизации расхода потребителя при

фиксированном значении функции полезности. Функции спроса по Хиксу. Функция расходов

Постановка задачи. Требуется добиться фиксированного значения функции полезности при минимальных затратах на покупку двух товаров, одного – стоимостью за единицу, другого – стоимостью за единицу измерения (предполагается, что можно купить любые количества этих товаров).

Задача сводится к поиску минимума функции при условии . (29)

Функция Лагранжа имеет вид

(30).

Приравниваем нулю её частные производные по , и :

(31).

Предполагаем, что система (31) имеет единственное решение , , . Функции , называются функциями спроса по Хиксу, а функция

(32)

называется функцией расходов.

Из первых двух равенств (31) для единственного решения , , получаем

. (33)

Утверждение. Имеет место равенство

.

► Из (32) и (33) следует

=

◄

Утверждение. (Шепард) Справедливы равенства

, . (34)

► Из (32) и (33) получаем

т.к. .

Для равенство (34) устанавливается аналогично.◄

Рассмотрим пример, в котором в уравнении (29)

, , .

Применим метод множителей Лагранжа и рассмотрим функцию Лагранжа

.

Находим её частные производные и приравниваем их к нулю

(35)

а решение , , этой системы удовлетворяет условиям

из которых находим или

. (36)

Тогда последнее из уравнений (35), вместе с (36), даёт

, (37)

Откуда

, (38)

а из (36) и (38) находим

. (39)

Функции (38) и (39)- это функции спроса по Хиксу.

Подставляя (38) и (39) в первое из равенств (35), находим

,

откуда

.

Функция расходов , согласно (32), (38) и (39) , имеет вид

.

Проверка того, что в точке , функция имеет экстремум (минимум) сводится к исследованию второго дифференциала функции Лагранжа

.

Используя (30), получаем

Кроме того, дифференцируя уравнение связи (т.е.(37)), находим

,

т.е. . В итоге второй дифференциал функции Лагранжа равен .

Все слагаемые в скобках больше нуля ввиду условий , , поэтому в рассматриваемой точке, действительно, минимум.

Приложение. Понятие независимости функций

Иногда возникает вопрос, а нет ли среди уравнений связи лишних, которые являются следствиями остальных уравнений?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим систему функций

(1)

определенных и непрерывных, вместе со своими частными производными, в некоторой -мерной открытой области .

Рассмотрим случай, когда значение одной из них, например , однозначно определяется совокупностью тех значений, которые принимают остальные функции

.

Точнее говоря, если есть множество таких -мерных точек, отвечающих всевозможным точкам в , то предполагается что в будет иметь место функциональная зависимость

, (2)

причем это равенство оказывается тождеством относительно в , если вместо всех , подставить функции (1)­. Тогда говорят, что в области функция зависит от остальных. Для того, чтобы иметь возможность применять дифференциальное исчисление, мы включим в определение еще требование, чтобы функция была определена и непрерывна со своими частными производными в некоторой открытой области -мерного пространства, содержащей множество .

Если, в частности, одна из функций (1), , сводится к постоянной, то она будет зависеть от остальных: здесь можно просто положить . Вообще функции называются зависимыми в области , если одна из них (все равно какая) зависит от остальных.

Примеры. 1) Если положить

то нетрудно проверить, что во всем -мерном пространстве будет выполняться тождество .

Таким образом, зависит от и .

Если ни в области , ни в какой-либо частичной, в ней содержащейся, области не имеет место тождество вида (2), то функции называют независимыми в области .

Рассмотрим матрицу Якоби

Предполагая , имеем такую теорему:

Теорема 1. Если хоть один определитель -ого порядка, составленный из элементов матрицы (3), отличен от нуля в области , то в этой области функции независимы.

. (4)

Замечание. Если бы не равным нулю был не этот, а какой-нибудь другой определитель, то, изменив нумерацию переменных, можно было бы свести вопрос к случаю (4).

►Доказательство теоремы будем вести от противного. Предположим, что одна из функций, например , выражается через остальные, так что

, (5)

хотя бы в некоторой части области .

Продифференцировав это тождество по каждой из переменных , мы получим ряд тождеств (в ) вида

.

Мы видим, что элементы последней строки определителя (5) получаются путем сложения соответственных элементов первых строк, умноженных предварительно на множители , ,. Такой определитель, как известно, равен нулю. Это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает невозможность равенства (5).◄