- •Матричные игры Варианты заданий
- •Элементы теории игр
- •Игры двух лиц с нулевой суммой
- •Смешанные стратегии
- •Методы определения оптимальных стратегий
- •Пример решения матричной игры 3×3
- •Ранжирование элементов систем Варианты заданий
- •Структурный анализ систем
- •Элементы теории графов
- •Алгебраическое представление графа
- •Ранжирование элементов систем
- •Сетевое планирование Задания Задача №1
- •Задача №2
- •Элементы теории сетей
- •Сетевое планирование
Ранжирование элементов систем Варианты заданий
Определить ранги элементов системы, заданной графом G = (V,U)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Структурный анализ систем
При проектировании и изучении систем приходится анализировать большое количество связей элементов и явлений, подвергать их всестороннему исследованию. Одним из возможных направлений исследования систем является структурный анализ систем, базирующийся на теории отношений и теории графов и сетей. Важной особенностью структурного анализа является то, что, используя минимум исходных данных, он дает, по крайней мере, качественно достоверные результаты и позволяет сравнивать между собой различные варианты проектов на ранних стадиях разработки. Это важно, так как на стадии эксплуатации дороже всего обходится исправление ошибок, допущенных при проектировании.
Структурный анализ позволяет:
1) представить удобное символическое изображение системы в виде структурной схемы;
2) определить значимость элементов системы и связей между ними;
3) оценить качество структуры системы и сформулировать рекомендации по ее улучшению.
Важной частью исследования является определение значимости элементов системы на основании наличия между ними определенной совокупности отношений. Для этого вводится количественный показатель значимости - ранг элемента, который является относительной характеристикой, так как зависит от выбора критерия ранжировки. Определение ранга элементов позволяет облечь качественное субъективное понимание значимости в количественную форму.
Ранги элементов и другие структурные параметры позволяют оценить вклад, вносимый в общий функциональный показатель системы отдельными элементами и связями, степень функциональной загрузки элементов и связей, наличие "узких" мест в связях между объектами. Это, в свою очередь, позволяет разработать рациональную программу технической реализации системы с учетом значимости ее элементов, что дает определенную экономию сил и средств, поскольку выявленные проблемы решаются до начала не только производственного процесса, но и детального исследования системы.
После этих предварительных замечаний перейдем к изложению элементов дискретной математики, которые нам понадобятся для изложения конкретных методов структурного анализа систем.
Элементы теории графов
Def. Множество и набор U пар элементов из V называется графом G = (V,U).
Элементы множества Vназываютсявершинамиграфа. Элементы набораUназываютсяребрамиграфа. Про реброговорят, что оно соединяет вершины. Ребра виданазываютсяпетлями.
Вершины, соединенные ребром, называютсясмежными.Ребра, имеющие общую вершину, называютсясмежными.
В наборе Uмогут встречаться одинаковые пары, которые называютсякратными(илипараллельными) ребрами. Количество одинаковых парвUназываетсякратностью ребра.
В литературе граф с кратными ребрами и петлями обычно называют псевдографом. Псевдограф без петель (но с кратными ребрами) называютмультиграфом. Собственнографом, как правило,называютпсевдограф без петель и кратных ребер. Такого определения мы и будем придерживаться.
Если пары в наборе Uявляются упорядоченными, то граф называетсяориентированнымили краткоорграфом. Ребра орграфа часто называютдугами. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только орграфов, сохранив при этом терминологию, используемую для графов. Так часто делают в специальной литературе, если это не вызывает путаницы.
Если - ребро графа, то вершинаназывается началом ребраx , а вершина- концом ребраx. В этом случае говорят, что реброx соединяет вершины. Если вершинаaявляется началом или концом ребраx, то говорят, чтоaиx инцидентны.
Два ребра называются смежными, если имеют общую вершину. Две вершиныназываютсясмежными, если.
Степенью вершиныaназывается числоребер, инцидентных вершинеa. Вершина графа, имеющая степень 0, называетсяизолированной, а степень 1 –висячей.
Если множество Vи наборUсостоят из конечного числа элементов и пар, то графGназываетсяконечным. Граф, у которого любые две вершины соединены ребром, называетсяполным.
Система ребер называетсяпутем, соединяющим вершины, если конец каждого ребра (за исключением последнего) совпадает с началом следующего. Для любого ребра, принадлежащего пути, говорят, что путьпроходит через это ребро. Аналогично, если вершинапринадлежит некоторому ребру пути, то говорят, что этот путь проходит через вершину.
Путь , не проходящий дважды ни через одно ребро, называетсяциклом.
Граф Gназываетсясвязным, если для его любых двух различных вершинсуществует путь, соединяющий эти вершины.
Весьма наглядной является геометрическая реализация графаGв виде фигурыГ, вершины которой соответствуют вершинам графаG, а ребрам графаG- отрезки прямых или дуги, соединяющие соответствующие вершины.
Справедлива следующая теорема.
Теорема.Каждый конечный граф G можно реализовать в трехмерном евклидовом пространстве.
Для характеристики графа Gиспользуются следующие числовые характеристики:
1) число вершин графа (элементов) n;
2) число ребер графа (связей) m;
3) число его связных частей (компонент) p;
4) цикломатическое число v(G) = m - n + p;
5) хроматическое число графа v(G).
Смысл первых трех характеристик ясен без комментариев.
Цикломатическое числоv(G)равно максимальному числу независимых циклов.
Подробнее поясним смысл хроматического числа. Если все вершины графа окрашены k цветами так, что никакие две смежные вершины не окрашены одним цветом, то граф называется хроматическим порядка k. Минимальное числоk, при котором граф является хроматическим порядкаk, называетсяхроматическим числом графаG и обозначаетсяv(G), т.е.v(G) = min k.
Взяв в качестве вершин графа элементы системы, а в качестве ребер связи между ними, получаем структурную схему системы в виде вершинного графа. Взяв в качестве ребер графа элементы системы, а в качестве вершин связи между ними, получаем структурную схему системы в видереберного графа. Выбор типа графа определяется целями исследования. Существует методика преобразования вершинного графа в реберный и наоборот. В дальнейшем изложении мы ограничимся рассмотрением только вершинных графов.
Представляя структуру системы в виде графа, мы получаем наглядную модель системы. Заметим, что реальные системы характеризуются разнообразием элементов и связей между ними. Переходя к графу, мы абстрагируемся от природы и физической сущности объектов и связей между ними.
Граф - это топологическая модель, отображающая некоторую совокупность связей между элементами системы.
Связь - это некоторое отношение между двумя элементами, т.е., используя графы, мы имеем дело с бинарными отношениями.