Д) Условие прочности при изгибе
Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении.
Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений
.
Величина допускаемых напряжений назначается в зависимости от материала, из которого изготовлена балка.
Пластичные материалы обладают примерно равными пределами текучести на сжатие и на растяжение равны между собой и поэтому .
Для хрупких материалов, у которых прочность при сжатии выше, чем при растяжении, допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, как правило, не равны между собой и, поэтому, необходимо записывать два условия прочности
, ,
где и - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.
18. А)поперечный изгиб. Б)Погрешности гипотез плоских сечений и о ненадавливании волокон.
А)ΣFy=0=> Qy=F
ΣMy=0 => Mz=-Fx
Изгиб назыв поперечным, если в поперечном сечении возникает момент изгибающий и поперечная сила. τ=QSxотс/bJx – формула Журавского, τmax=QmaxSxmax/bJx≤[τ] – условие прочности. Полная проверка прочности балок при поперечном изгибе заключается в определении размеров поперечного сечения по формуле Навье и дальнейшей проверки по касательным напряжениям. Т.к. наличие τ и σ в сечении относится к сложному нагружению, то оценку напряженного состояния при совместном их действии можно вычислить, используя 4 теорию прочности σэкв4=√σ2+3τ2≤[σ].
Б)Гипотеза плоских сечений была установлена Я. Бернулли в результате экспериментов: при растяжении стержня продольные и поперечные риски, нанесенные на его поверхности до деформации, остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь расстояния между ними (между поперечными рисками они увеличиваются, а между продольными – уменьшаются).
В основе гипотезы плоских сечений лежит предположение, что и внутри стержня деформации имеют такой же характер, как на поверхности. Следовательно, сечения, плоские и нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации. В этом и заключается смысл гипотезы плоских сечени
19. Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изгиба балок. Условие жестокости.
А)При изгибе рассматриваются перемещений: прогиб и угол поворота поперечного сечения. Прогибом балки δ называется величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис.6.9).
В дальнейшем будем считать, что прогибы и углы поворота балки малы и , а .
Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид: .
Если балка имеет один участок, то это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:
, ,
где - жесткость при изгибе, С и D - константы интегрирования, которые представляют собой прогиб и угол поворота в начале координат и определяются из граничных условий задачи.
Б) Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона , касательной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).
Рис. 5.23
В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y(z) и (z) = = (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z функцию перемещений y (z) и функцию углов поворота (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:
. (5.17)
Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается следующей формулой:.
Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда. (5.18)
Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное дифференциальное соотношение
, (5.19)
где Ix момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е модуль упругости материала; E Ix изгибная жесткость балки.
Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент Mx (z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.
Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.
В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y (z) и углов поворота (z), необходимо решить уравнение (5.19), с учетом граничных условий между смежными участками.
Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.
На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.
Если балка имеет n конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.
Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями Mx (z) и E Ix (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (5.19) по всей длине балки:
интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота
,интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов
. Здесь C1 и С2 произвольные постоянные интегрирования должны быть определены
С)оценка прочности конструкции, которая сводится к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: |
Это и есть основные условия прочности. |
ограничения накладываются не на напряжения, а на изменение формы стержня (вала, балки), т.е. деформации. Для разных видов нагружения условия жесткости имеютвид: при растяжении (сжатии) |
при кручении |
где - угол закручивания, |
при изгибе |
где - угол поворота, у - прогиб. |