2.4. Переходная функция (переходная характеристика)

Эта динамическая характеристика применяется для описания одноканальных систем типа (2.3)

с нулевыми начальными условиями,

Переходная характеристика h(t) - это реакция системы на входное воздействие типа единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях.

- момент возникновения входного воздействия

Рис. 2.4. Переходная характеристика системы

Чтобы определить переходную характеристику аналитически, следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и u(t)=1(t).

Для реальной системы переходную характеристику можно получить экспериментальным путем; при этом на вход системы следует подавать ступенчатое воздействие и фиксировать реакцию на выходе. Если ступенчатое воздействие отлично от единицы, то характеристику на выходе следует разделить на величину входного воздействия.

Зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

(2.8)

где - переменная интегрирования.

2.5. Импульсная переходная функция

Данная характеристика используется для описания одноканальных систем вида (2.3) с нулевыми начальными условиями.

Импульсная переходная функция - это реакция системы на входное воздействие типа дельта-функции при нулевых начальных условиях.

Дельта-функция обладает следующими свойствами:

(2.9)

С помощью дельта-функции моделируется реальное входное воздействие типа удара.

Рис. 2.5. Импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению

(2.10)

Переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями

(2.11)

что позволяет по одной известной характеристике определить вторую.

2.6. Переходная матрица

Эта характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1) - (2.2) при нулевых входных воздействиях, то есть для автономных систем типа:

. (2.12)

Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения

(2.13)

при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях

где I =

Она обладает следующими свойствами:

для любого ),

(2.14)

Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы (2.6)

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению

. (2.15)

Здесь первое слагаемое - свободная составляющая движения, второе - вынужденная. Для выходных переменных имеем

. (2.16)

Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0, то

, (2.17)

где . (2.18)

Матрица называетсяматричной импульсной перeходной функцией, потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную переходную функцию , которая является реакциейi-го выхода на j-ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.

Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

. (2.19)

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту

(2.20)

где .

С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид

(2.21)

. (2.22)

Матричная импульсная перeходная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая

. (2.23)

При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.