- •Раздел 5
- •I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду)
- •II. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •III. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Контрольная работа
- •I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Задание №1 для контрольной работы* . Найти общее решение дифференциального уравнения
- •II. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
- •1) Дифференциальное уравнение вида (не содержащее искомой функции у).
- •Задание №2 для контрольной работы. Даны дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
- •3) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:
- •Задание №3 для контрольной работы*.
- •III. Система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Задание №4 для контрольной работы .
- •IV. Составить дифференциальное уравнение и найти решение.
- •Задание №5 для контрольной работы.
- •Раздел 6 кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •2. Тройной интеграл
- •Задания для контрольной работы.
- •Раздел 7
- •Вопросы для самопроверки.
- •Вопросы для самопроверки
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа . Ряды. Уравнения математической физики.
- •4. Разложить в ряд Фурье функцию на указанном интервале.*
- •5. Методом Фурье решить уравнение колебаний конечной струны длины 1 с граничными условиямии начальными условиями
- •Раздел 8 криволинейные и поверхностные интегралы элементы теории поля
- •Задания для контрольной работы
- •Для заметок
4. Разложить в ряд Фурье функцию на указанном интервале.*
1) ; |
2) |
3) ; |
4) |
5) ; |
6) ; |
7) ; |
8) ; |
9) ; |
10) ; |
11) ; |
12) ; |
13) ; |
14) ; |
15) ; |
16) ; |
17) ; |
18) ; |
19) ; |
20) ; |
21) ; |
22) ; |
23) ; |
24) |
5. Методом Фурье решить уравнение колебаний конечной струны длины 1 с граничными условиямии начальными условиями
1) |
; |
; |
2) |
; |
; |
3) |
; |
; |
4) |
; |
; |
5) |
; |
; |
6) |
; |
; |
7) |
; |
; |
8) |
; |
; |
9) |
; |
; |
10) |
; |
; |
11) |
; |
; |
12) |
; |
; |
Методом Фурье решить уравнение теплопроводности стержня длины l (найти распределение тепла в любой момент времениt вдоль стержня, имеющего теплопроницаемую боковую поверхность) с граничными условиями .
13) |
; |
; |
14) |
; |
; |
15) |
; |
; |
16) |
; |
; |
17) |
; |
; |
18) |
; |
; |
19) |
; |
; |
20) |
; |
; |
21) |
; |
; |
22) |
; |
; |
23) |
; |
; |
24) |
; |
; |
Раздел 8 криволинейные и поверхностные интегралы элементы теории поля
Вопросы для самопроверки
Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.
Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление.
Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения.
Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.
Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.
Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.
Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.
Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.
Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах.
В гл.XV §1-2 вводятся понятия криволинейного интеграла первого (по длине дуги) (КИ1) и второго (в координатной форме) (КИ2) рассмотрены их свойства и приложения. Вычисление криволинейных интегралов сводится в общем случае к вычислению определенного интеграла (задача 1,2), доказана формула Грина (§3), Связывающая вычисление КИ2 по замкнутой плоской кривой L с вычислением двойного интеграла по области , ограниченной этой кривой
.
Масса дуги материальной кривой при заданной линейной плотности вычисляется с помощью КИ1
.
При вычислении циркуляции векторного поля вдоль плоского контура(задача 3) следует применить формулу Грина.
В §5, 6 гл.XV вводятся понятия поверхностных интегралов первого (ПИ1) и второго (ПИ2) рода, доказываются их свойства и приложения. В §7 доказана формула Остроградского-Гаусса, связывающая вычисления ПИ2 от векторного поля
по замкнутой поверхности с вычислением тройного интеграла по области, ограниченной поверхностью
, где.
При вычислении ПИ2 по замкнутой поверхности (задача 4), как правило применяют формулу Остроградского.
При решении задачи №5 необходимо вспомнить (гл.IX §6), что нормаль к поверхности, заданной уравнением определяется вектором
.
Производная от функции по направлению векторавычисляется (гл.VIII §14) по формуле
.
Положительным считается направление нормали к поверхности, составляющее острый угол с осью OZ.
Указание. При выполнении контрольной работы №8 приходится вычислять неопределенные (определенные) интегралы вида:
, при- нечетном удобно сделать замену; при- четном либо используют тригонометрическую подстановку, либо интегрируют по частям.
Можно найти аналогичный интеграл (для конкретных значений m, a, b) в книге: Двайт «Таблица интегралов и другие математические формулы».