E.2. Задачи и упражнения на тему «Структуры данных»

В настоящем разделе содержатся задачи и упражнения по структурам данных. Эти задачи и упражнения расположены в восьми подразделах, посвященных определенному типу структур данных.

E.2.1. Векторы

1. Даны натуральные числа n,a₁, ...,a_n. Определить количество членовa_kпоследовательностиa₁, ...,a_n:

а) являющихся нечетными числами;

б) являющихся квадратами четных чисел;

в) кратных 3 и не кратных 5;

г) удовлетворяющих условию ;

д) удовлетворяющих условию ;

е) имеющих четные порядковые номера и являющихся нечетными числами.

2. Даны натуральные числа n, q₁, ..., q_n.Найти те членыq_iпоследовательностиq₁, ..., q_n,которые

а) являются удвоенными нечетным числами;

б) при делении на 7 дают остаток 1, 2 или 5;

в) обладают тем свойством, что корни уравнения действительны и положительны.

3. Дано натуральное число n. Получить сумму тех чисел вида,которые являются утроенными нечетными.

4. Даны целые числа a₁, ..., a₅₀. Получить сумму тех чисел данной последовательности, которые

а) кратны 5;

б) нечетны и отрицательны;

в) удовлетворяют условию .

5. Даны натуральное число n, целые числа a₁, ..., a_n. Найти количество и сумму тех членов данной последовательности, которые делятся на 5 и не делятся на 7.

6. Даны натуральные числа n, p,целые числаa₁, ..., a_n.Получить произведение членов последовательностиa₁, ..., a_n,кратныхp.

7. Даны целые числа p, q, a₁, ..., a₆₇ ().В последовательностиa₁, ..., a₆₇заменить нулями члены, модуль которых при делении наpдает в остаткеq.

8. Даны натуральное числоn,действительные числаa₁, ..., a_n.Получить удвоенную сумму всех положительных членов последовательностиa₁, ..., a_n.

9. Даны натуральное числоn,действительные числаa₁, ...,a_n.Вычислить обратную величину произведения тех членовa_iпоследовательностиa₁, ..., a_n,для которых выполненоi+1 <a_i <i!.

10. Даны натуральное числоn, действительные числаa₁, ...,a_n.В последовательностиа₁, ..., a_nвсе отрицательные члены увеличить на 0.5, а все не отрицательные заменить на 0.1.

11. Даны натуральное число n, действительные числа x₁, ...,x_n. В последовательности x₁, ...,x_n все члены, меньшие двух, заменить нулями. Кроме того, получить сумму членов, принадлежащих отрезку [3,7], а также число таких членов.

12. Даны натуральное число n,действительные числаa₁, ..., a_n. В последовательностиa₁, ..., a_nвсе неотрицательные члены, не принадлежащие отрезку [1, 2], заменить на единицу. Кроме того, получить число отрицательных членов и число членов, принадлежащих отрезку [1, 2].

13. Даны натуральное число n,целые числаa₁, ..., a_n.Получить сумму положительных и число отрицательных членов последовательностиa₁, ..., a_n.

14. Даны натуральное число n,целые числаa₁, ..., a_n.Заменить все большие семи члены последовательности a₁, ..., a_n числом 7. Вычислить количество таких членов.

15. Даны целые числа. Получить число отрицательных членов последовательностии число нулевых членов всей последовательности.

16. Пусть . Даны: неотрицательное целое n, действительные a, b, c, d, q . Принадлежит ли интервалу ?

17. Даны: натуральное число n, целые числаa, ...,. Если в последовательности...,есть хотя бы один член, равныйa, то получить сумму всех членов, следующих за первым таким членом; в противном случае ответом должно быть число 10.

18. Даны: натуральное число n, действительные числаa, b, , ...,.Верно ли, что при всякий раз, когда , выполнено ?

19. Даны целые числа , ...,. Получить последовательность , ...,, которая отличается от исходной тем, что все нечетные члены удвоены.

20. Вычислить , где

если i нечетное, в противном случае;

если iнечетное, в противном случае.

21. Даны натуральные числа n, ,...,.Вычислить , где

если xкратно 3 , если xпри делении на 3 дает остаток 1 в остальных случаях

22. Даны натуральное числоn, действительные числаr, ,...,.Сколько среди точек (, ), ..., (,), (,) таких которые принадлежат кругу радиусаrс центром в начале координат?

23. Даны целые числа а, n, , ...,(n>0). Определить, каким по счету идет в последовательности , ...,член, равныйа. Если такого члена нет, то ответом должно быть число 0.

24. Даны натуральное число n, действительные числа , ...,. Получить:

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж) +	з) -

25. Даны натуральное число n, действительные числа.

a) Верно ли, что отрицательных членов в последовательности больше чем положительных ?

б) Верно ли, что наибольший член последовательности по модулю больше единицы ?

26. У прилавка в магазине выстроилась очередь из n покупателей. Время обслуживания продавцом i-го покупателя равно (i=1, ... , n). Пусть даны натуральное число n и действительные . Получить, гдеc_i - время пребывания i - го покупателя в очереди (i=1, ... , n). Указать номер покупателя, для обслуживания которого продавцу потребовалось самое малое время.

27. В некоторых видах спортивных состязаний выступление каждого спортсмена независимо оценивается несколькими судьями, затем из всей совокупности оценок удаляются наиболее высокая и наиболее низкая, а для оставшихся оценок вычисляется среднее арифметическое, которое и идет в зачет спортсмену. Если наиболее высокую оценку выставило несколько судей, то из совокупности оценок удаляется только одна такая оценка; аналогично поступают с наиболее низкими оценками.

Даны натуральное число n, действительные положительные числа(n3). Считая, что числа- это оценки, выставленные судьями одному из участников соревнований, определить оценку, которая пойдет в зачет этому спортсмену.

28. Даны натуральное число n, действительные числа. Получитьи.

29. Дано натуральное число n. Найти наибольшее среди чисел (k=1, ..., n), а также сумму всех этих чисел.

30. Даны натуральное число n, целые числа. Найти:

а) наименьшее из четных чисел, входящих в последовательность a₁-1, a₁, ..., a_n;

б) наибольшее из нечетных и количество четных чисел, входящих в последовательность a₁, ..., a_n,a_n+1.

31. Даны натуральное числоn, действительные числа , ...,. Получить все натуральные числаj ,для которых.

32. Пусть i=3, 4, ... . Срединайти ближайшее к какому-нибудь целому.

33. Пустьi=2, 3, ... . Получить.

34. Пустьi=1, 2, ... . Дано натуральное n. Срединайти все положительные числа, среди положительныхвыбрать наименьшее число.

35. Пусть;k= 2, 3, ... . Найти сумму квадратов тех чисел, которые не превосходят двух.

36. Даны натуральное число n, действительные числа . В последовательностиопределить число соседств:

а) двух положительных чисел;

б) двух чисел разного знака;

в) двух чисел одного знака, причем модуль первого числа должен быть больше модуля второго числа.

37. Даны целые числа. Имеются ли в последовательности:

а) два идущих подряд нулевых члена;

б) три идущих подряд нулевых члена?

38. Даны натуральное числоn,действительные числа . Последовательность чиселопределяет на плоскостиn квадратов со сторонами, параллельными координатным осям: так ,- координаты центра первого квадрата, -длина его стороны; аналогично числа ,,определяют второй квадрат, ,,-третий и т.д. Имеются ли точки, принадлежащие всем квадратам? Если да, то указать координаты одной из них.

39. Даны натуральное число n,действительные числа . Вычислить сумму чисел ,...,, которые превосходят по величине все числа.

40. Даны действительные числаa, b (a<b),натуральное числоn, функция y=f(x), определенная на отрезке [a, b]. Для значений аргумента(i = 0, 1, ..., n), вычислить значения функции

(i=0, 1,..., n). Вывестии(i=0, 1, ..., n) в виде таблицы из двух колонок. В i-ю строку таблицы заносятся соответствующие значенияи. Рассмотреть следующие функции:

а) , n=50;

б) , a=-1, b=2, n=30;

в) a=0, b=2, n=50;

г) , a=-1, b=3, n=40;

д) a=-3, b=5, n=40.

41. Рассматривается последовательность, ...,. Требуется определить, сколько членов последовательности с номерами 1, 2, 4, 8, 16, ... имеют значение, меньшее, чем 0.25. При этом считать, что

а) , k=1, 2, ..., 1000;

б) , ...,- заданные действительные числа;

в) =0.01;,k=2, ... , 1000.

42. Даны натуральное число n, действительные числа . Получить (1+r)/(1+s), где r - сумма всех тех членов последовательности , которые не превосходят 1, а суммаs - сумма всех членов, больших 1.

43. Даны натуральное число n, действительные числа . Найти:

а) где		при yi2, в противном случае;
б) где		при yi>1, в противном случае;
в) , где		при , в противном случае;
г) где		при 0<yi<10, в противном случае;
д) где		при yi<1, в противном случае;

44. Даны целые числа,, ... Известно, что>0 и что среди,, ... есть хотя бы одно отрицательное число. Пусть, ...,- члены данной последовательности, предшествующие первому отрицательному члену (nзаранее не известно). Получить:

а)

б)

в)

г)

д)

е) количество четных среди , ...,;

и) количество квадратов нечетных чисел среди , ...,;

ж) количество удвоенных нечетных среди ,...,;

з) количество полных квадратов среди , ...,.

45. Дано натуральное число n. Получить все натуральные делители.

46. Дано натуральное число n. Получить все такие натуральныеq, чтоnделится наи не делится на.

47. Даны натуральные числа m,n. Получить все их натуральные общие кратные, меньшеmn.

48. Даны целые числаm,n (m0, n0). Получить все их общие делители (положительные и отрицательные).

49. Даны натуральное числаn, действительные числа, ...,. Выяснить, является ли последовательность, ...,упорядоченной по убыванию.

51. Даны натуральное числоn, действительные числа, ...,. Найти длину наименьшего отрезка числовой оси, содержащего числа, ...,.

52. Даны действительные числа x, .Выяснить, во-первых, верно ли, что, и, во-вторых, верно ли, что, где- наименьшее, а- наибольшее среди . (Какие комбинации ответов на первый и второй вопросы возможны?)

53. Даны натуральное число n, действительные числаа, ,...,(). Получить последовательность ,членами которой являются члены последовательности ,...,и значениеа, такую, что.

54. Даны натуральное числоn, целые числа, ...,. Оставить без изменения последовательность, ...,, если ее члены упорядочены по не убыванию или по не возрастанию. В противном случае получить подпоследовательность, ..., (m>n), гдеm таково, что либо и, либо и .

55. Даны натуральное число n, действительные числаа, ,...,. Получить в порядке следования все, удовлетворяющие неравенствам.

56. Даны натуральное число n,целые числа, ...,.

а) Выяснить, какое число встречается в последовательности , ...,раньше - положительное или отрицательное. Если все члены последовательности равны нулю, то сообщить об этом.

б) Найти номер первого четного члена последовательности , ...,; если четных членов нет, то ответом должно быть число 0.

в) Найти номер последнего нечетного члена последовательности , ...,; если нечетных членов нет, то ответом должно быть числоn+1.

57. Даны натуральное число n,целые числа, ...,,, ...,,, ...,. Верно ли, что отрицательный член в последовательности, ...,встречается раньше, чем в последовательностях, ...,и, ...,? Предполагается, что каждая из последовательностей содержит хотя бы один отрицательный член.

58. Дано натуральное число n,действительные числа, ...,. Выяснить, образуют ли возрастающую последовательность числа:

а) , ...,

б) , ...,,

в) , ...,,