- •Ниворожкина л.И., Морозова з.А., Герасимова и.А., Житников и.В., Федосова о.Н.
- •Рецензенты:
- •Экзаменационные вопросы по математической статистике с элементами теории вероятностей теория вероятностей
- •Правила выполнения и оформления домашнего задания (контрольной работы)
- •1.Элементы комбинаторики
- •1.1. Размещения
- •1.2. Понятие факториала
- •1.3. Размещения с повторениями
- •1.4. Сочетания
- •Сочетания с повторениями
- •1.6. Перестановки
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Правила комбинаторики
- •Задачи к теме 1
- •2.Элементы теории вероятностей
- •2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна
- •Полную группу можно определить так: если
- •2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
- •Задачи к теме 2
- •3. Формулы полной вероятности и байеса
- •Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hiс учетом полной информации о событии а.
- •Задачи к теме 3
- •4. Дискретные случайные величины.
- •4.1. Определение дискретной случайной величины.
- •4.2.Числовые характеристики.
- •4.3. Математические операции над случайными величинами.
- •4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
- •4.5. Гипергеометрическое распределение.
- •График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •График функции (вероятностная гистограмма)
- •График функции распределения.
- •5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •5.2. Нормальное распределение
- •Задачи к теме 5
- •6. Вариационные ряды и их характеристики
- •6.1.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов.
- •6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Задачи к теме 6
- •7. Выборочный метод и статистическое оценивание
- •7.2. Статистическое оценивание
- •7.3. Ошибки выборки
- •Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора
- •7.4. Определение численности (объема) выборки
- •Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
- •7.5. Интервальное оценивание
- •8. Проверка статистических гипотез
- •(Кривая вероятностей)
- •Критические точки распределения 2
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения Фишера-Снедекора
График функции (вероятностная гистограмма)
Рис. 4.6.
г) Определим вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут хотя бы два инкассатора.
“Хотя бы два” - “как минимум два” - “два или больше”. Другими словами, “хотя бы два” - это “или два, или три, или четыре, или ...”.
Исходя из этого, для определения вероятности того, что в течение 15 минут в банк прибудут хотя бы два инкассатора, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:
P(X 2) =P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + ... + Р(Х = n).
С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (Х 2) до полной группы событий не хватает события (Х < 2), т. е. (х 1), которое является противоположным событию (Х 2). Поэтому искомую вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора, проще найти следующим образом:
P(X 2) = 1 - P(X 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X=1)) = 1 - (0,1353 + 0,2707) = 1 - 0,406 =
= 0,594.
Вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора, составляет 0,5904.
д) Определим вероятность того, что в течение 15 минут число прибывших инкассатор окажется меньше трех.
“Меньше трех” - это “или ноль, или один, или два”.
Из теоремы сложения вероятностей несовместных событий следует:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).
P(X < 3) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767.
Ответ. Вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудет меньше трех инкассаторов, составляет 0,6767.
Пример 4.3. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета.
а) Составьте ряд распределения числа выигрышных билетов среди отобранных;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Напишите функцию распределения числа выигрышных билетов среди отобранных и постройте ее график;
г) Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется не меньше трех выигрышных билетов;
д) Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется не больше одного выигрышного билета.
Решение. В качестве случайной величины в данной задаче выступает число выигрышных билетов среди отобранных. Обозначим ее через X.
Перечислим все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4.
Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.
Очевидно, что отбор лотерейных билетов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.
Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина - число выигрышных билетов среди отобранных - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.
Изобразим ситуацию на схеме:
N
M N-M
n
m n-m
Рис. 4.7.
Случайная величина, интересующая нас, Х = m - число выигрышных билетов в выборке объемом в n билетов. Число всех возможных случаев отбора n билетов из общего числа N билетов равно числу сочетаний из N по n (С), а число случаев отбора m выигрышных билетов из общего числа M выигрышных билетов (и значит, (n-m) проигрышных из общего числа (N - M) проигрышных) равно произведению
С С(отбор каждого из m выигрышных билетов может сочетаться с отбором любого из (n-m) проигрышных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n лотерейных билетов окажется ровно m выигрышных. По формуле для расчета вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке m выигрышных билетов (то есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение m) равна:
где С- общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов,
СС- число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события;
m n, если n M и m M, если M < n.
Если по этой формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения.
а) Составим ряд распределения.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и запишем полученные результаты в таблицу.
По условию задачи N =20; M = 4; n = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4.
Занесем полученные результаты в таблицу:
Таблица 4.7.
-
X
0
1
2
3
4
P(X)
0,37564
0,46233
0,14861
0,01321
0,00021
Произведем проверку. Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.
Проверка: 0,37564 + 0,46233 + 0,14861 + 0,01321 + 0,00021 = 1.
График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины - полигон распределения вероятностей; изображенный на рис 4.8
Рис. 4.8.
б) Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины.
Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.
Но математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по более простой формуле:
Рассчитаем математическое ожидание числа выигрышных билетов среди отобранных:
(билета).
Дисперсию случайной величины, подчиняющейся распределению, также может быть рассчитано по более простой формуле:
Вычислим дисперсию числа выигрышных билетов среди отобранных:
D(X = m) = 0,53895 (кв.ед.).
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа выигрышных билетов среди отобранных:
3 (билета).
в) Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:
.
Рассчитаем значения F(х):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
Таблица 4.8.
X |
x 0 |
0 < x 1 |
1 < x 2 |
2 < x 3 |
3 < x 4 |
x > 4 |
F(x) |
0 |
0,37564 |
0,83797 |
0,98658 |
0,99979 |
1 |